Auswahlaxiom

Das Auswahlaxiom ist das neueste Axiom der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre. Es wurde erstmals von Ernst Zermelo formuliert.

Es lautet: Sei I eine beliebige Indexmenge, A_i eine Familie von Mengen.

Dann gibt es eine Funktion, genannt Auswahlfunktion,

$F:\left\{A_{i}|i\in I\right\}\rightarrow \cup A_{i}$

so dass

$\forall {i\in I}:F\left(A_{i}\right)\in A_{i}$

Es gibt etliche dazu äquivalente Formulierungen, unter anderem das Lemma von Zorn.

Viele Mathematiker, darunter viele der theoretischen Physik nahestehenden, lehnen das Auswahlaxiom ab. Das A. postuliert die Existenz einer Auswahlfunktion, ohne eine Aussage darüber zu machen, wie diese Funktion aussieht (man spricht dann von einer schwachen Existenzaussage). Beispielsweise ist es noch keinem gelungen, für eine allgemeine Menge von Teilmengen von $\mathbb {R}$ eine Auswahlfunktion zu konstruieren.

Auch wegen seiner Konsequenzen, z.B. dem Satz von Banach-Tarski, ist das Auswahlaxiom umstritten.