Binärsystem

Das Binärsystem oder Dualsystem ist ein Stellenwertsystem zur Darstellung von Zahlen. Es verwendet die Basis 2, entsprechend der dyadischen (2-adischen) Darstellung von Zahlen. Folglich gibt es nur zwei Zahlsymbole, die meist mit 0 und 1, gelegentlich auch mit L (low) und H (high) gekennzeichnet werden. Zahlen, die im Binärsystem Zahlensystem dargestellt sind, nennt man Binärzahlen bzw. Dualzahlen.

Darstellung von Zahlen

Die Darstellung der Zahlen erfolgt ähnlich wie die Darstellung im gewöhnlich verwendeteten Dezimalsystem, mit dem Unterschied, dass die Wertigkeit der Ziffern nicht durch die entsprechende Zehnerpotenz, sondern durch die passende Zweierpotenz bestimmt wird. Beispielsweise stellt die Folge 1101 nicht (wie im Dezimalsystem) die Tausendeinhundertundeins dar, sondern die Dreizehn, denn im Binärsystem berechnet sich der Wert durch:

$[1101]_{2}=1\cdot 2^{3}+1\cdot 2^{2}+0\cdot 2^{1}+1\cdot 2^{0}=[13]_{10}$

und nicht wie im Dezimalsystem durch:

$1\cdot 10^{3}+1\cdot 10^{2}+0\cdot 10^{1}+1\cdot 10^{0}=[1101]_{10}.$

Die Klammerung der Resultate mit der tiefgestellten 10 soll darauf hinweisen, dass die Resultate im gebräuchlichen Dezimalsystem dargestellt sind. Eine ausführliche und verallgemeinerte Erläuterung findet sich im Artikel Stellenwertsystem.

Die Möglichkeit, Zahlen in binärer Form darzustellen, wurde wohl zuerst von Leibniz dokumentiert. Leibniz selbst schrieb zu seiner Entdeckung:

Um Alles aus Nichts zu erzeugen, reicht Eins.
Omnibus ex nihilo ducendis sufficit unum.

Leibniz war auch der Erste, der Rechenmaschinen auf Basis des Binärsystems baute.

Das Binärsystem ist besonders wichtig in der Digitaltechnik, da die Ziffern der Binärzahlen leicht durch komplementäre Zustände wie Strom an/Strom aus oder Spannung/Masse symbolisiert werden können. Auf diese Weise sind sehr fehlerresistente Schaltungen möglich. Beispielsweise lässt sich in einer Schaltung Masse als 0 und 5V gegen Masse als 1 annehmen. Sinkt nun die Spannung im Schaltkreis auf 4.5V ab, so kann dies immer noch zuverlässig als 1 gedeutet werden. Wären hingegen z.B. alle zehn Ziffern des Dezimalsystems als Spannungswerte codiert, so wäre dies bereits eine falsche Ziffer.

Ganz analog zu den Zahlen im Dezimalsystem lassen sich mit Binärzahlen die gängigen arithmetischen Grundoperation Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division durchführen. Tatsächlich werden die benötigten Algorithmen sogar einfacher und lassen sich effizient mit logischen Schaltungen elektronisch realisieren. Die Einführung von Binärzahlen in die Rechentechnik brachte daher eine ganze Reihe Vorteile.

Durch die kleine Basis ergibt sich jedoch der Nachteil, dass Zahlen im Binärsystem im Verhältnis zu Dezimalzahlen relativ lang sind (siehe Tabelle unten). Dies hat zur Verbreitung des Hexadezimalsystems geführt, welches die Basis 16 besitzt. Da 16 eine Potenz von 2 ist, ist es besonders einfach möglich, Binärzahlen in Hexadezimalzahlen umzurechnen. Dazu werden je vier Binärstellen durch eine Hexadezimalstelle ersetzt, was auch die Länge der dargestellten Zahlen um den Faktor vier verringert. Andererseits ist die Basis der Hexadezimalzahlen noch klein genug, um diese mit bekannten Symbolen darzustellen. Dazu werden neben den Ziffern 0-9 in der Regel noch die Großbuchstaben A-F verwendet.

Binärsystem	0	1	10	11	100	101	110	111	1000	1001	1010	1011	1100	1101	1110	1111	10000
Dezimalsystem	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
Hexadezimalsystem	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F	10

Umrechnung

vom Binärsystem ins Dezimalsystem

Um aus einer Binärzahl eine Dezimalzahl zu erhalten, zählt man die Zweierpotenzen zusammen, bei denen in der Binärzahl die Ziffer 1 steht.

Beispiel: 1010₍₂₎

Man rechnet nun von rechts nach links:

0 · 2⁰ = 0
1 · 2¹ = 2
0 · 2² = 0
1 · 2³ = 8

Zusammengezählt ergibt dies 10 im Dezimalsystem.

vom Dezimalsystem ins Binärsystem

Es gibt mehrere Möglichkeiten der Umrechnung ins Binärsystem. Im Folgenden ist die Divisionsmethode am Beispiel 41₍₁₀₎ beschrieben:

41 : 2 = 20 Rest 1
20 : 2 = 10 Rest 0
10 : 2 = 5 Rest 0
5 : 2 = 2 Rest 1
2 : 2 = 1 Rest 0
1 : 2 = 0 Rest 1

Der zu errechnende Wert ist nun von unten nach oben ablesbar: 101001₍₂₎

Darstellung negativer Zahlen

Wegen der Bedeutung des Dualsystems in der Digitaltechnik ist es auch wichtig, negative Zahlen damit darstellen zu können. Für die Darstellung negativer ganzer Zahlen im Dualsystem existieren verschiedene Verfahren: Vorzeichenbit, Einerkomplement und Zweierkomplement.