Mittelwert

Der Mittelwert ist ein Begriff aus der Mathematik bzw. Statistik. Es sind zwei verschiedene Bedeutungen dieses Begriffs gebräuchlich, die sich allerdings überschneiden.

Zum einen nennt man den Erwartungswert einer Zufallsvariablen Mittelwert .

Zum anderen bezeichnet der Mittelwert, auch Mittel genannt, eine Durchschnittsbildung von verschiedenen Zahlenwerten. Diese Bedeutung wird hier erläutert.

Mittelwerte sind verschiedene mathematisch definierte, meist statistische, Kenngrößen, die sich aus einer Reihe von Beobachtungswerten, etwa Messwerten einer Stichprobe, berechnen lassen. Aufgabe des Mittelwertes ist es, Aufschluss über den Durchschnittswert vorliegender Werte zu geben. Es gibt verschiedene Arten von Mittelwerten, wie z.B. geometrisches Mittel und arithmetisches Mittel.

Im folgenden seien $x_{1}\ldots x_{n}$ gegebene Messwerte, deren Mittelwert berechnet werden soll.

Arithmetisches Mittel

Das arithmetische Mittel (auch Durchschnitt) ist der am häufigsten benutzte Mittelwert und wird deshalb auch als Standardmittelwert bezeichnet.

Liegen von einem Merkmal n Beobachtungen vor, errechnet sich das Mittel der Stichprobe als

${\bar {x}}_{arithm}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{x_{i}}={\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}}$

Beispiel für das arithmetische Mittel von 50 und 100:

${\frac {50+100}{2}}=75$

Liegen die Beobachtungen als klassierte Häufigkeit vor, kann man das arithmetische Mittel näherungsweise mit den Klassenmitten bestimmen.

Das arithmetische Mittel einer Stichprobe ist nach vielen Kriterien eine geeignete Schätzung für den Erwartungswert der Verteilung, aus der die Stichprobe stammt.

Geometrisches Mittel

Das geometrische Mittel ist ein geeignetes Lagemaß für Größen, von denen das Produkt anstelle der Summe interpretierbar ist, z. B. von Verhältnissen oder Wachstumsraten.

${\bar {x}}_{geom}={\sqrt[{n}]{\prod _{i=1}^{n}{x_{i}}}}$

Beispiel für das geometrische Mittel zwischen 5 und 300:

${\sqrt {3\cdot 300}}=30$

Harmonisches Mittel

Das harmonische Mittel ist ein geeignetes Lagemaß für Größen, die durch einen Bezug auf eine Einheit definiert sind, z.B. von Geschwindigkeiten (Strecke pro Zeiteinheit) oder Ernteerträgen (Gewicht oder Volumen pro Flächeneinheit)

${\bar {x}}_{harm}={\frac {n}{\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{x_{i}}}}}$

Beispiel für das harmonische Mittel zwischen 5 und 20:

${\frac {2}{{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{20}}}}={\frac {2}{\frac {1}{4}}}=8$

Verallgemeinerter Mittelwert (m. Mittel)

${\bar {x}}(m)={\sqrt[{m}]{{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{x_{i}^{m}}}}$

Mittels geeigneter Wahl des Parameters m können die drei obigen Mittelwerte erzeugt werden:

• m = 1: Arithmetisches Mittel
• m -> 0: Geometrisches Mittel
• m = -1: Harmonisches Mittel
• m = 2: Quadratisches Mittel oder Effektivwert (in der Elektrotechnik)

Allgemein gilt für -∞ ≤ s < t ≤ ∞:

${\bar {x}}(s)\leq {\bar {x}}(t)$

Für die Spezialwerte -1, 0, 1, 2 gilt nach der Cauchy-Ungleichung stets:

$x_{min}\leq x_{harm}\leq x_{geom}\leq x_{arithm}\leq x_{quadr}\leq x_{max}$

Das harmonische Mittel lässt sich auch indirekt berechnen als $x_{harm}={\frac {x_{geom}^{2}}{x_{arithm}}}$

Gewichtetes Mittel

Das gewichtete Mittel wird verwendet, wenn man Mittelwerte aus Stichproben der gleichen Grundgesamtheit mit verschiedenen Stichprobenumfängen miteinander kombinieren will:

${\bar {x}}={\frac {\sum _{i=1}^{n}{w_{i}\cdot x_{i}}}{\sum _{i=1}^{n}{w_{i}}}}$

Die Gewichte $w_{i}$ sind die Umfänge der Teilstichproben oder, in anderen Anwendungen, ein Maß für die Zuverlässigkeit des jeweiligen Wertes, der dementsprechend den Mittelwert mehr oder weniger stark beeinflusst. Das Gewicht kann aus der Standardabweichung des Wertes berechnet werden..

$w_{i}={\frac {1}{\sigma _{i}^{2}}}$

Winsorisiertes oder gestutztes Mittel

Kann man davon ausgehen, dass die Daten durch "Ausreißer", d.h. einige wenige zu hohe oder zu niedrige Werte kontaminiert sind, so sortiert man die Beobachtungswerte nach aufsteigender Größe, schneidet eine gleiche Anzahl von Werten am Anfang und am Ende der Folge ab und berechnet von den übrigbleibenden Werten den Mittelwert. Ein 10% winsorisiertes Mittel erhält man, wenn man 5% der Gesamtzahl aller Werte am unteren und 5% am oberen Ende auslässt.

Mittelwert einer Funktion

Der Mittelwert der Funktion $f$ mit dem Gewicht $g$ ist

${\bar {f}}={\frac {\int f(x)g(x)\mathrm {d} x}{\int g(x)\mathrm {d} x}}$

Siehe auch

Median, Stochastik, Varianz, Wahrscheinlichkeitsverteilung.

Weblinks

• Berechnung: 'geometrisches Mittel' zweier Werte und Vergleich dazu: 'arithmetisches Mittel'