Intervall (Mathematik)

Ein Intervall ist eine Teilmenge einer Menge von Objekten, die definierte Nachbarn haben, so dass folgendes gilt:

• das Intervall ist die leere Menge oder
• das Intervall enthält genau ein Element oder
• das Intervall enthält mehr als ein Element und alle Elemente des Intervalls sind miteinander benachbart.

Beispielsweise existiert das Intervall {5,6,7,8,9} als Teilmenge der natürlichen Zahlen. Für Mengen, die man anordnen kann, reicht es aus, wenn man das größte und kleinste Element des Intervalls angibt. Hierdurch ist das Intervall eindeutig bestimmt.

Man muss (zumindest in der Anschauung) Intervalle von Mengen, deren Elemente kontinuierlich angeordnet sind (z.B. die reellen Zahlen), von diskreten Mengen (z.B. ganze Zahlen) unterscheiden. Bei kontinuierlichen Zahlen gibt es keine Nachbarn, so dass der Begriff der Umgebung wichtig wird. Hier werden auch offene und geschlossene Intervalle (s.u.) unterschieden.

Schreibweisen

• $[a,b]=\{x\in \mathbb {R} \,|\,a\leq x\leq b\}$

  Abgeschlossenes Intervall. Das Intervall enthält sowohl a als auch b.

• $]a,b[=\{x\in \mathbb {R} \,|\,a<x<b\}$

  Offenes Intervall. Das Intervall enthält weder a noch b.

• $[a,b[=\{x\in \mathbb {R} \,|\,a\leq x<b\}$

  Rechtsoffenes Intervall. Das Intervall enthält a, aber nicht b.

• $]a,b]=\{x\in \mathbb {R} \,|\,a<x\leq b\}$

  Linksoffenes Intervall. Das Intervall enthält nicht a, wohl aber b.

• $]\infty ,b]=\{x\in \mathbb {R} \,|\,x\leq b\}$

  Linksseitig unendliches abgeschlossenes Intervall. Enthält alle Zahlen die kleinergleich b sind (und ist wirklich abgeschlossen, trotz der einseitigen Offen-Schreibweise). Analog dazu gibt es rechtsseitig unendliche offene oder abgeschlossene Intervalle.

• Offene Intervalle ]a, b[ werden oft auch als (a, b) geschrieben.

Verallgemeinerung

Alle hier für die reellen Zahlen R gemachten Schreibweisen lassen sich direkt auf beliebige total geordnete Mengen übertragen.

Siehe auch: Intervallschachtelung