Kreuzprodukt

Das Kreuzprodukt (auch vektorielles oder äußeres Produkt) (notiert als ${\vec {a}}\times {\vec {b}}$ ) zweier Vektoren in einem dreidimensionalen euklidischen Vektorraum ist ein bestimmter Vektor, der normal (sekrecht im Sinne des Skalarprodukts) auf ${\vec {a}}$ und ${\vec {b}}$ steht.

Definition

Im gewöhnlichen dreidimensionalen Raum R³ ist das Kreuzprodukt von a und b definiert als

{\vec {a}}\times {\vec {b}}=\left|{\vec {a}}\right|\left|{\vec {b}}\right|\sin(\theta ){\vec {n}}

wobei θ der von den beiden Vektoren eingeschlossene Winkel (siehe auch Sinus), und ${\vec {n}}$ der zu beiden Vektoren normale Einheitsvektor ist.

Diese Definition hat allerdings das Problem, dass es zwei Vektoren gibt, die normal auf ${\vec {a}}$ und ${\vec {b}}$ stehen. Den korrekten Vektor bestimmt die Orientierung des Vektorraumes. Das heutzutage verwendete Koordinatensystem ist "rechtshändig" (ein so genanntes "Rechts-System"), d.h. sowohl die Koordinatenachsen (x, y und z) als auch die Vektoren ${\vec {a}}$ , ${\vec {b}}$ und ${\vec {a}}\times {\vec {b}}$ verhalten sich wie Daumen, Zeigefinger und Mittelfinger der rechten Hand, wenn man sie im rechten Winkel zueinander von der Handfläche wegstreckt (daher oft Rechte-Hand-Regel genannt).

Graphisch lässt sich das Kreuzprodukt darstellen als:

Der Betrag von ${\vec {a}}\times {\vec {b}}$ entspricht der Fläche des von ${\vec {a}}$ und ${\vec {b}}$ aufgespannten Parallelogramms.

Für das Kreuzprodukt gilt nicht das Kommutativgesetz:

{\vec {a}}\times {\vec {b}}=-{\vec {b}}\times {\vec {a}}

Verallgemeinerung

Es gibt eine Verallgemeinerung des Kreuzprodukts auf n-dimensionale euklidische Räume, die allerdings nicht mehr nur zwei Vektoren verknüpft, sondern n-1 Vektoren. Das Kreuzprodukt dieser Vektoren ist ein Vektor, der auf allen senkrecht steht und dessen Länge und Richtungssinn von den Längen und der Reihenfolge der Argumente abhängt.

Diese Verallgemeinerung kann man so definieren:

Sei V ein n-dimensionaler euklidischer K-Vektorraum und a₁, ..., a_n-1 Vektoren von V. Dann definiert man das Kreuzprodukt als formale Determinante

a₁ × ... × a_n-1 := det(E, a₁, ..., a_n-1)

wobei die a_i als Koordinatenvektoren bezüglich einer Orthonormalbasis aufgefasst werden und E der Spaltenvektor ist, dessen Komponenten die Basisvektoren sind. Da das nicht Elemente von K (sondern von V) sind, ist das eine formale Determinante, die z.B. durch Entwicklung nach der ersten Spalte berechnet werden kann und einen Vektor in V liefert.

Berechnungsformel im R³

Für den R³ mit dem kanonischen Skalarprodukt und der Orthonormalbasis {e₁=(1,0,0), e₂=(0,1,0), e₃=(0,0,1)} folgt aus der allgemeinen Definition die Formel

{\vec {a}}\times {\vec {b}}={\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\\b_{3}\end{pmatrix}}=\det {\begin{pmatrix}e_{1}&a_{1}&b_{1}\\e_{2}&a_{2}&b_{2}\\e_{3}&a_{3}&b_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}\\-(a_{1}b_{3}-a_{3}b_{1})\\a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}\end{pmatrix}}

Definition

Verallgemeinerung

Berechnungsformel im R3

Weblinks

Berechnungsformel im R³