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Die charakteristischen Funktionen bezeichnen in der Thermodynamik die totalen Differentiale und damit die Änderungen der thermodynamischen Potentiale :
Innere Energie U , Enthalpie H , Helmholtz-Potential F und Freie Enthalpie G .
Die wichtigste charakteristische Funktion ist die aus dem Ersten Hauptsatz der Thermodynamik folgende Fundamentalgleichung
d
U
=
T
d
S
−
p
d
V
+
μ
d
N
.
{\displaystyle \mathrm {d} U=T\mathrm {d} S-p\mathrm {d} V+\mu \mathrm {d} N.\!}
Aus den Definition der Enthalpie H
H
=
U
+
p
V
{\displaystyle H=U+pV\!}
folgt wegen
d
(
p
V
)
=
p
d
V
+
V
d
p
{\displaystyle \mathrm {d} (pV)=p\mathrm {d} V+V\mathrm {d} p\!}
d
H
=
d
U
+
p
d
V
+
V
d
p
,
{\displaystyle \mathrm {d} H=\mathrm {d} U+p\mathrm {d} V+V\mathrm {d} p,\!}
und mit der Fundamentalgleichung erhält man
d
H
=
T
d
S
−
p
d
V
+
μ
d
N
+
p
d
V
+
V
d
p
{\displaystyle \mathrm {d} H=T\mathrm {d} S-p\mathrm {d} V+\mu \mathrm {d} N+p\mathrm {d} V+V\mathrm {d} p\!}
und damit die charakteristische Funktion:
d
H
=
T
d
S
+
V
d
p
+
μ
d
N
.
{\displaystyle \mathrm {d} H=T\mathrm {d} S+V\mathrm {d} p+\mu \mathrm {d} N.\!}
Aus der Definition der Freien Enthalpie G
G
=
H
−
T
S
{\displaystyle G=H-TS\!}
folgt
d
G
=
d
H
−
T
d
S
−
S
d
T
,
{\displaystyle \mathrm {d} G=\mathrm {d} H-T\mathrm {d} S-S\mathrm {d} T,\!}
und damit die charakteristische Funktion
d
G
=
−
S
d
T
+
V
d
p
+
μ
d
N
.
{\displaystyle \mathrm {d} G=-S\mathrm {d} T+V\mathrm {d} p+\mu \mathrm {d} N.\!}
Zuletzt noch die Definition des Helmholtz-Potentials F
F
=
U
−
T
S
{\displaystyle F=U-TS\!}
folgt entsprechend
d
F
=
−
S
d
T
−
p
d
V
+
μ
d
N
.
{\displaystyle \mathrm {d} F=-S\mathrm {d} T-p\mathrm {d} V+\mu \mathrm {d} N.\!}
Siehe auch : totales Differential
