Waringsches Problem
Das Waringsche Problem ist eine Problemstellung der Zahlentheorie. In seinem Werk Meditationes algebraicae (1770) stellte Edward Waring eine Vermutung auf, die den Vier-Quadrate-Satz verallgemeinerte.
Der Vier-Quadrate-Satz besagt, dass jede natürliche Zahl als Summe von höchstens vier Quadratzahlen dargestellt werden kann. Er wurde 1621 von Bachet und 1640 von Fermat vermutet und 1770 von Lagrange bewiesen.
Warings Verallgemeinerung besagt, dass zu jedem natürlichen Exponenten k eine natürliche Zahl g existiert, so dass jede natürliche Zahl als Summe von höchstens g k-ten Potenzen dargestellt werden kann.
Warings Vermutung wurde 1909 von David Hilbert bewiesen. Die Aussage wird deshalb manchmal auch als "Hilbert-Waring's theorem" bezeichnet (deutsche Bezeichnung?).
Die kleinstmögliche Zahl g für einen Exponenten k bezeichnet man als g(k). Es ist g(1) = 1. Berechnungen zeigen, dass die Zahl 7 vier Quadrate benötigt, 23 benötigt 9 Kubikzahlen, und 79 benötigt 19 vierte Potenzen. Waring vermutete, dass diese Werte die bestmöglichen sind, also g(2) = 4, g(3) = 9 und g(4) = 19.
Durch den Vier-Quadrate-Satz ist g(2) = 4 bewiesen.
Dass g(3) = 9 ist, wurde 1912 von Arthur Wieferich und A. J. Kempner bewiesen. g(4) = 19 wurde 1986 von R. Balasubramanian, F. Dress, und J.-M. Deshouillers gezeigt, g(5) = 37 im Jahr 1964 von Jing-run Chen und g(6) = 73 1940 von Pillai.
Durch die Arbeit von Dickson, Pillai, Rubugunday und Niven sind nun alle anderen g(k) ebenfalls bekannt. Ihre Formel umfasst zwei Fälle, wobei vermutet wird, dass der zweite Fall für kein k auftritt. Für den ersten Fall lautet die Formel
- g(k) = floor((3/2)k) + 2k - 2 für k ≥ 6.
Weblink
- Waring's Problem auf mathword.wolfram.com (englisch)