Riemannsche Vermutung

Die Grundlage für die Riemannsche Vermutung oder Riemannsche Hypothese bildet die Zeta-Funktion, die als unendliche Reihe dargestellt werden kann:

$\zeta (z)=\sum _{n=1}^{\infty }n^{-z}\qquad (z>1\in \mathbb {R} )$.

Auf den komplexen Zahlenraum übertragen ist die Zeta-Funktion auch als Integral darstellbar:

$\zeta (z)={2^{z-1} \over {z-1}}-2^{z}\int _{0}^{\infty }{\sin(z\arctan(t)) \over {{(1+t^{2})}^{z \over 2}}(e^{\pi t}+1)}dt\qquad \qquad (z\in \mathbb {C} \backslash \{1\})$

Die Vermutung des Mathematikers Bernhard Riemann (aus dem Jahre 1859) besagt nun, dass die einzigen komplexen Nullstellen der Zeta-Funktion auf einer Geraden mit Realteil ein Halb liegen:

$z={1 \over 2}+y\,i\qquad (y\in \mathbb {R} )$

i ist iher die imaginäre Einheit.

Ursprünglich ging es bei der komplexen Zeta-Funktion um die Berechnung der Primzahlen-Verteilung, bzw. wie sehr deren tatsächliche Häufigkeit von der statistischen abweicht.

Die Riemannsche Vermutung wurde im Jahr 1900 von David Hilbert in seiner Liste von 23 mathematischen Problemen als Jahrhundertproblem deklariert. Da keine Lösung gefunden wurde, hat das "Clay Mathematics Institute" im Jahr 2000 dieses erneut zu den wichtigsten mathematischen Problemen erklärt und einen Preis von einer Million Dollar auf einen schlüssigen Beweis der Riemannschen Vermutung ausgesetzt. Mittlerweile wurde mit Hilfe von Grossrechnern gezeigt, dass die ersten eineinhalb Milliarden Nullstellen der komplexen Zeta-Funktion alle die Riemannsche Vermutung erfüllen, sprich sie liegen alle auf der Geraden mit Realteil 1/2.

siehe auch: Ungelöste Probleme der Mathematik