Biquaternion

Die Biquaternionen sind ein hyperkomplexes Zahlensystem, das von William Kingdon Clifford in der zweiten Hälfte des 19. Jahrhunderts beschrieben wurde. Vor Clifford hatte Arthur Cayley bereits die Quaternionen mit komplexen Koeffizienten (also die Menge $\mathbb {C} \otimes \mathbb {H}$) als Biquaternionen bezeichnet.

Hamilton Biquaternion

Die von Arthur Cayley beschriebenen Biquaternionen sind Quaternionen, deren Elemente komplese Zahlen sind. Dies kann –durch die Umwandlung des Quaternions – beispielsweise als komplexer 4-Vektor oder als komplexe 4×4-Matrix dargestellt werden:

$\mathbf {q} \in \mathbb {C} \otimes \mathbb {H} =\left\{\left.{\begin{pmatrix}w\\x\\y\\z\end{pmatrix}}{\hat {=}}{\begin{pmatrix}w&-x&z&-y\\x&w&-y&-z\\-z&y&w&-x\\y&z&x&w\end{pmatrix}}\right\vert w,y,x,z\in {\mathbb {C}}\right\}$

Die Biquaternionen sind also ein 8-dimensionales hyperkomplexes Zahlensystem mit den Einheiten 1, i, j, k, $\omega$, $\omega$i, $\omega$j, $\omega$k. Ein Biquaternion q kann also z. B. wie folgt dargestellt werden:

$\mathbf {q} ={\begin{pmatrix}\Re \mathbf {q} _{w}+\omega \,\Im \mathbf {q} _{w}\\\Re \mathbf {q} _{x}+\omega \,\Im \mathbf {q} _{x}\\\Re \mathbf {q} _{y}+\omega \,\Im \mathbf {q} _{y}\\\Re \mathbf {q} _{z}+\omega \,\Im \mathbf {q} _{z}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\Re \mathbf {q} _{w}\\\Re \mathbf {q} _{x}\\\Re \mathbf {q} _{y}\\\Re \mathbf {q} _{z}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}\omega \,\Im \mathbf {q} _{w}\\\omega \,\Im \mathbf {q} _{x}\\\omega \,\Im \mathbf {q} _{y}\\\omega \,\Im \mathbf {q} _{z}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\Re \mathbf {q} _{w}\\\Re \mathbf {q} _{x}\\\Re \mathbf {q} _{y}\\\Re \mathbf {q} _{z}\\\omega \,\Im \mathbf {q} _{w}\\\omega \,\Im \mathbf {q} _{x}\\\omega \,\Im \mathbf {q} _{y}\\\omega \,\Im \mathbf {q} _{z}\end{pmatrix}}$

$\mathbf {q} =\Re \mathbf {q} _{w}+i\,\Re \mathbf {q} _{x}+j\,\Re \mathbf {q} _{y}+k\,\Re \mathbf {q} _{z}+\omega \,\Im \mathbf {q} _{w}+\omega i\,\Im \mathbf {q} _{x}+\omega j\,\Im \mathbf {q} _{y}+\omega k\,\Im \mathbf {q} _{z}$

Hierbei sind i, j und k die Einheiten der Quaternionen. Es gilt zudem $\omega ^{2}=1$, und dass $\omega$ mit i, j und k kommutiert. Die Komponenten w, x, y und z stellen die jeweiligen Dimensionen dar, die durch das Quaternion repräsentiert werden.

Clifford Biquaternion

Die Clifford-Biquaternionen entstehen durch die Idee die komplexen Zahlen in den Hamilton-Biquaternionen durch eine geteilte komplexe Zahl zu ersetzen. Dies erreicht man durch Umformung des Ausdrucks $\mathbb {C} \otimes \mathbb {H}$ in $\mathbb {H} \otimes \mathbb {C}$. Dies kann man sich so vorstellen, dass man anstatt einem „Quaternion mit komplexen Zahlen“ eine „komplexe Zahl mit Quaternionen“ bildet. Alternativ kann man sich die Biquaternionen als direkte Summe der Quaternionen mit sich selbst, also $\mathbb {H} \oplus \mathbb {H}$, bilden.

$\mathbf {q} \in \mathbb {H} \otimes \mathbb {C} =\left\{\left.{\begin{pmatrix}\mathbf {q} \\\mathbf {p} \end{pmatrix}}{\hat {=}}\mathbf {q} +\omega \,\mathbf {p} \right\vert \mathbf {q} ,\mathbf {p} \in {\mathbb {H}}\right\}$

Die Clifford-Biquaternionen bilden einen assoziativen Ring mit Nullteilern.

Die Biquaternionen sind die Clifford-Algebra $Cl(3,0,\mathbb {R} )$. Die Verbindung entsteht durch $\mathbf {i} _{1}=i$, $\mathbf {i} _{2}=j$, $\mathbf {i} _{3}=k$ und $\mathbf {i} _{1}\mathbf {i} _{2}\mathbf {i} _{3}=\omega$

Siehe auch

• Zahlenbereiche
  • Ganze Zahl
  • Rationale Zahl
  • Reelle Zahl
  • Komplexe Zahl
• Hyperkomplexe Zahlen:
  • Oktave (Oktonion)
  • Quaternion
  • Sedenion