Halbstetigkeit

Eine reellwertige Funktion f heißt oberhalbstetig (oder halbstetig von oben) in einem Punkt x, wenn die Funktionswerte für Argumente nahe bei x von x ausgehend nicht nach oben springen. Wenn die Funktionswerte nicht nach unten springen, dann heißt die Funktion unterhalbstetig in x (oder halbstetig von unten).

Definition

Sei X ein topologischer Raum, x in X und f: X -> R eine reellwertige Funktion. f heißt in x oberhalbstetig, wenn für jedes ε > 0 eine Umgebung U von x existiert, so dass f(y) < f(x) + ε für alle y in U. Äquivalent dazu ist die Bedingung

$\limsup _{y\to x}f(y)\leq f(x)$

f heißt oberhalbstetig in X, wenn sie in jedem Punkt von X oberhalbstetig ist.

Analog heißt f im Punkt x unterhalbstetig, wenn für jedes ε > 0 eine Umgebung U von x existiert, so dass f(y) > f(x) - ε für alle y in U. Äquivalent dazu ist die Bedingung

$\liminf _{y\to x}f(y)\geq f(x)$

f heißt unterhalbstetig in X, wenn sie in jedem Punkt von X unterhalbstetig ist.

Beispiele

Die Funktion f mit f(x) = 0 für x < 0 und f(x) = 1 für x ≥ 0 ist oberhalbstetig, aber nicht unterhalbstetig in x = 0. Denn geht man mit den Argumenten in negative Richtung von der 0 weg, dann springen die Funktionswerte plötzlich von 1 auf 0 runter, aber sie springen nicht nach oben, egal wohin man weggeht.

Die Gaussklammer ist oberhalbstetig, denn sie verhält sich an jeder ganzen Zahl so wie die eben beschriebene Funktion f.

Eigenschaften

Eine Funktion ist stetig in x genau dann, wenn sie dort halbstetig von oben und von unten ist.

Sind f und g zwei in x oberhalbstetige Funktionen, dann ist auch ihre Summe f+g in x oberhalbstetig. Sind beide Funktionen nichtnegativ in einer Umgebung von x, dann ist auch das Produkt fg in x oberhalbstetig. Die Multiplikation einer positiven oberhalbstetigen Funktion mit einer negativen reellen Zahl ergibt eine unterhalbstetige Funktion.

Ist C eine kompakte Menge (zum Beispiel ein abgeschlossenes Intervall [a, b] mit reellen Zahlen a < b) und f: C -> R oberhalbstetig, dann hat f ein Maximum auf C. Analoges gilt für eine unterhalbstetige Funktion und ihr Minimum.

Sind die Funktionen f_n: X -> R (für alle n aus N) unterhalbstetig und ihr Supremum

f(x) := sup {f_n(x) : n in N}

kleiner als ∞ für jedes x in X, dann ist f unterhalbstetig. Selbst wenn alle f_n stetig sind, muss f aber nicht stetig sein.