Diskussion:Gini-Koeffizient
Beispiel: Ungleichverteilungskoeffizienten lassen sich sowohl für Einkommensverteilungen wie auch für Vermögensverteilungen berechnen. Wie man Ungleichverteilung berechnet, zeigt der folgende Beitrag anhand der Verteilung eines "Gesamtvermögens" von etwa 10 Billionen Mark in Deutschland (1995). In der Bundestagsdrucksache 13/7828 finden wir dazu Angaben von der SPD, aus der sich die folgende Verteilung ergibt:
A=Leute E=Vermögen Klasse 1: 50% besaßen 2,5% Klasse 2: 40% besaßen 47,5% Klasse 3: 9% besaßen 27,0% Klasse 4: 1% besaßen 23,0%
Aus einer derartigen Vermögensverteilung werden wir verschiedene Ungleichverteilungskoeffizienten berechnen. (Die im folgenden Text ermittelten Koeffizienten sind übrigens "freundlich". Die tatsächlichen Ungleichverteilungen werden sogar noch größer sein als die errechneten, denn die Ungleichverteilung innerhalb der Klassen kann mangels Daten hier nicht berücksichtigt werden.)
In einem ersten Schritt stellen wir die Daten "normalisiert" dar:
A1 = 0,50 E1 = 0,025 A2 = 0,40 E2 = 0,475 A3 = 0,09 E3 = 0,27 A4 = 0,01 E4 = 0,23
Im zweiten Schritt berechnen wir den Gini-Koeffizienten.
Gini-Ungleichverteilungskoeffizient (GUK) ist eine Auswertung "Lorenz-Kurve".
http://www.umverteilung.de/entspieg.gif
Diese Kurve entsteht, wenn Sie die untenstehenden (X,Y)-Paare als Punkte in ein karthesisches Koordinatensystem eintragen und sie miteinander verbinden. (Die X-Werte brauchen wir nur zum Zeichnen der Lorenz-Kurve, nicht jedoch zum Berechnen des GUK.)
Die Fläche unter der Kurve nenne ich B. Bei totaler Gleichverteilung wäre die Kurve eine Diagonale zwischen den Eckpunkten (0/0) und (1/1). Die Fläche unter der Diagonale wäre 0,5 mit normierten Daten (wie wir sie hier verwenden). Dann gilt: für den Gini-Ungleichverteilungskoeffizienten: GUK = (0,5-B)/0,5 = 1-2×B.
Diese Flächenverhältnisse kann man wie folgt berechnen:
Alle Werte-Paare E(i) und A(i) müssen so vorsortiert sein, dass gilt: E(i)/A(i)>E(i-1)/A(i-1) Errechnen der Daten für die Lorenz-Kurve: X0 = 0,000 Y0 = 0,000 X1 = A1+X0 = 0,500 Y1 = E1+Y0 = 0,025 X2 = A2+X1 = 0,900 Y2 = E2+Y1 = 0,500 X3 = A3+X2 = 0,990 Y3 = E3+Y2 = 0,770 X4 = A4+X3 = 1,000 Y4 = E4+Y3 = 1,000 Errechnen des GUK: (Y1×2-E1)×A1 = 0,0125 (Y2×2-E2)×A2 = 0,2100 (Y3×2-E3)×A3 = 0,1143 (Y4×2-E4)×A4 = 0,0177 Summe = 0,3545 GUK = 1-Summe = 0,6455 = 65%
Es gibt eine Vielzahl von anderen Ungleichverteilungskoeffizienten. Einige davon sind in http://www.umverteilung.de/verteilung.htm beschrieben. (Diese Seite ist ein Ausschn itt daraus.) Der Schwerpunk liegt dort auf Koeffizienten, die sich aus Entropien ableiten lassen.