Satz von Bayes

Ich hoffe, dass irgendwann Darstellungen der bayesschen Regel gefunden werden, die den recht verstandenen Ansprüchen der Schule und der Lehrerausbildung genügen. -- H. Dinges

Das Bayes' Theorem (oder auch Satz von Bayes) ist ein Ergebnis der Wahrscheinlichkeitstheorie, benannt nach Mathematiker Thomas Bayes, der es aus einer speziellen Studie im 18. Jahrhundert entwickelte.

Der Satz von Bayes

Satz von Bayes ist ein Satz zum Rechnen mit bedingten Wahrscheinlichkeiten:

$P(A|B)={\frac {P(B|A)P(A)}{P(B)}}$

Sie gilt als gilt für voneinander abhängige Ereignisse.

Hierbei ist $P(A)$ die a-priori Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis $A$ und $P(B|A)$ die so genannte Likelihood Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis $B$ gegeben $A$. Die Korrektheit des Satzes folgt unmittelbar aus der Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit.

Der Satz von Bayes erlaubt in gewissem Sinn das Umkehren von Schlussfolgerungen:

Die Berechnung von P(Ereignis|Prozess) ist sehr einfach, aber oft ist eigentlich ist P(Prozess|Ereignis) gesucht.

Allgemein

• Der Bayes'sche Ansatz gibt die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass ein Kandidat zu einer Gruppe gesuchter Merkmalsträger (z.B. TBC-Träger) gehört unter der Bedingung, dass der Kandidat ein Kriterium (z.B. röntgen-positiv) erfüllt und er willkürlich aus der Population herausgegriffen wird.

• Allgemeineres Beispiel in der Medizin: von einem positiven medizinischen Testergebnis wird auf das Vorhandensein einer Krankheit gschlosssen.

• von 10 charakteristischen Wörtern in einer Mail, wird auf die Eigenschaft "Spam" zu sein, geschlossen.

konkretes Anwendungsbeispiel

In einem medizinischen Beispiel sei das Ereignis $A$, dass ein Patient eine schwere seltene ($P(A)=0.0002$) Krankheit hat (Grundanteil).

$B$ bezeichne die Tatsache, dass der Patient positiv auf die Krankheit getestet worden ist.

Die Aufgabe kann entweder

• durch Berechnen oder
• durch einen Entscheidungsbaum gelöst werden

Rechnen mit dem Satz von Bayes

Der Hersteller des Tests versichtert, dass der Test eine Krankheit zu 99.9% erkennt ($P(B|A)=0.999$) und nur in 1% der Fälle falsch anschlägt ($P(B|\neg A)=0.01$).

• Die Frage ist: Gegeben ein positiv getesteter Patient, wie wahrscheinlich ist er an der seltenen Krankheit erkrankt?

Nach dem Satz von oben finden wir

$P(A|B)={\frac {P(B|A)P(A)}{P(B|\neg A)P(\neg A)+P(B|A)P(A)}}={\frac {0.999\cdot 0.0002}{0.01\cdot 0.9998+0.999\cdot 0.0002}}\approx 0.019,$

d.h. der Patient hat eine Chance von 98% gesund zu sein, obwohl der Test ihn als krank einschätzte (dies gilt natürlich nur unter der Annahme, dass nicht weitere Tatsachen auf eine Erkrankung hindeuten oder gegen diese sprechen).

Der Satz von Bayes im Entscheidungsbaum

Das Bayes-Theorems dient zum Rechnen mit bedingten Wahrscheinlichkeiten, er ist nicht leicht intuitiv verständlich. Die gleiche Aufgabe lässt sich im Entscheidungsbaum darstellen, als die Formel wird als "Baum" abgebildet. Die "fehlenden" Angaben lassen sich ungleich einfacher einsetzen. Das Diagramm "rechnet mit".

                   10 000
                  /      \
                 /        \ 
                /          \ 
              2(krank)    9 998 (gesund)
              /\             /\
             /  \           /  \
            /    \         /    \
           /      \       /      \
Test-     0       2     100      9898
ergebnis  -       +     +        -

Ergebnis: 2+100=102 haben ein positives Ergebnis, obwohl 100 von ihnen gesund sind. Diese Angaben erfolgen hier in der absoluten Häufigkeit.

Vergleich Berechnung und Entscheidungsbaum

• Bayes Formel: 0.019
• Entscheidungsbaum: 2/102=0,0196

Die Berechung im Entscheidungsbaum erfolgt ohne Rechner, es gibt kleine Rundungsfehler. Dies Rundungsfehler entstehen natürlich auch, wenn man von den Beobachtungen die Prozente errechnet: der Grundabteil von 2 von 10 000 wird wahrscheinlich auch nicht zu beobachten sein, sondern 2 von 10 004 oder 2 von 9 995.

Die Ergebnisse sind ident.

Verständnisproblem des Bayes-Theorem

Für eine Lösung einer Aufgabe muss die Informationen aus einem Aufgabentext als solche erkannt, kodiert und richtig notiert werden. Weiters müssen die "fehlenden" Wahrscheinlichkeiten als solche erkannt und richtig ergänzt werden.

Die gleichen Informationen, die vielen schwer verständlich sind erscheinen , können auch ohne bedingte Wahrscheinlichkeiten aufbereitet werden, wie in absolute Häufigkeit aufgeführt. Typische Verständisprobleme im Umgang mit bedingten Wahrscheinlichkeiten sind (Quelle:mpib-berlin.mpg.de):

1. Verwechslung von Konditionalität und Kausalität
2. Verwechslung von bedingter und konjunktiver Wahrscheinlichkeit
3. Verwechslung von bedingtem und bedingendem Ereignis
4. Schwierigkeiten bei der exakten Definition des bedingenden Ereignisses (z.B. beim "Ziegenproblem")
5. Missverstehen der Fragestellung durch mangelndes Grundverständnis für bedingte Wahrscheinlichkeiten, zu komplizierte Formulierung u.ä.

Weblinks

• Ian Stewart:Der Trugschluss des Ermittlers (Ein Anwendungsbeispiel aus der Kriminalistik.)
• Christoph Wassner, Stefan Krauss, Laura Martignon: Muss der Satz von Bayes schwer verständlich sein? (Ein Artikel zur Mathematikdidaktik.)