Algorithmus

Unter einem Algorithmus versteht man allgemein eine genau definierte Handlungsvorschrift zur Lösung eines Problems oder einer bestimmten Art von Problemen.

Im täglichen Leben lassen sich leicht Beispiele für Algorithmen finden: Zum Beispiel ist ein Kochrezept ein Algorithmus – zumindest dann, wenn alle Angaben genau genug sind und es für alle Teilaufgaben, wie Braten, Rühren, etc., ebenfalls Algorithmen gibt. Auch Reparatur- und Bedienungsanleitungen oder Hilfen zum Ausfüllen von Formularen sind in der Regel Algorithmen. Ein weiteres, etwas präziseres Beispiel sind Waschmaschinenprogramme.

Algorithmen können in Programmablaufplänen nach DIN 66001 oder ISO 5807 grafisch dargestellt werden.

was is loss

Informatik und Mathematik

Vor allem aber sind Algorithmen eines der zentralen Themen der Informatik und Mathematik. Sie sind Gegenstand einiger Spezialgebiete der Theoretischen Informatik, wie der Algorithmentheorie, der Komplexitätstheorie und der Berechenbarkeitstheorie. In Form von Computerprogrammen und elektronischen Schaltkreisen steuern sie Computer und andere Maschinen.

Algorithmus und Programm

Für Algorithmen gibt es unterschiedliche formale Repräsentationen. Diese reichen vom Algorithmus als abstraktes Gegenstück zum konkret auf eine Maschine zugeschnittenen Programm (d. h., die Abstraktion erfolgt hier im Weglassen der Details der realen Maschine, das Programm ist eine konkrete Form des Algorithmus, angepasst an die Notwendigkeiten und Möglichkeiten der realen Maschine) bis zur Ansicht, Algorithmen seien gerade die Maschinenprogramme von Turingmaschinen (wobei hier die Abstraktion in der Verwendung der Turingmaschine an sich erfolgt, d. h., einer idealen mathematischen Maschine).

Erster Computeralgorithmus

Der erste für einen Computer gedachte Algorithmus wurde 1842 von Ada Lovelace in ihren Notizen zu Charles Babbages Analytical Engine, festgehalten. Sie gilt deshalb als die erste Programmiererin. Weil Charles Babbage seine Analytical Engine nicht vollenden konnte, wurde Ada Lovelaces Algorithmus nie darauf implementiert.

Definition

Die mangelnde mathematische Genauigkeit des Begriffs Algorithmus störte viele Mathematiker und Logiker des 19. und 20. Jahrhunderts. Insbesondere steht die natürliche Sprache mit ihren Unschärfen und Widersprüchlichkeiten der Forderung nach Eindeutigkeit und Widerspruchsfreiheit im Wege.

Turingmaschinen und Algorithmusbegriff

In der ersten Hälfte des 20. Jahrhunderts wurde eine ganze Reihe von Ansätzen entwickelt, um zu einer genauen Definition zu kommen. Formalisierungen des Berechenbarkeitsbegriffs sind die Turing-Maschine (Alan Turing), der Lambda-Kalkül (Alonzo Church), rekursive Funktionen, Chomsky-Grammatiken und Markow-Algorithmen.

Es wurde – unter maßgeblicher Beteiligung von Alan Turing selbst – gezeigt, dass all diese Methoden ebenso leistungsfähig (gleich mächtig) sind. Sie können durch eine Turing-Maschine emuliert werden, und sie können umgekehrt eine Turing-Maschine emulieren.

Mit Hilfe des Begriffs der Turing-Maschine kann folgende formale Definition des Begriffs formuliert werden:

Eine Berechnungsvorschrift zur Lösung eines Problems heißt genau dann Algorithmus, wenn eine zu dieser Berechnungsvorschrift äquivalente Turingmaschine existiert, die für jede Eingabe, die eine Lösung besitzt, stoppt.

Aus dieser Definition sind folgende Eigenschaften eines Algorithmus ableitbar:

Das Verfahren muss in einem endlichen Text eindeutig beschreibbar sein (Finitheit).
Jeder Schritt des Verfahrens muss auch tatsächlich ausführbar sein (Ausführbarkeit).
Das Verfahren darf zu jedem Zeitpunkt nur endlich viel Speicherplatz benötigen (Dynamische Finitheit, siehe Platzkomplexität).
Das Verfahren darf nur endlich viele Schritte benötigen (Terminierung, siehe auch Zeitkomplexität).

Darüber hinaus wird der Begriff Algorithmus in praktischen Bereichen oft auf die folgenden Eigenschaften eingeschränkt:

Der Algorithmus muss bei denselben Voraussetzungen das gleiche Ergebnis liefern (Determiniertheit).
Die nächste anzuwendende Regel im Verfahren ist zu jedem Zeitpunkt eindeutig definiert (Determinismus).

Church-Turing-These

Die Church-Turing-These lautet: „Jedes intuitiv berechenbare Problem kann durch eine Turingmaschine gelöst werden.“ Als formales Kriterium für einen Algorithmus zieht man die Implementierbarkeit in einem beliebigen zu einer Turing-Maschine äquivalenten Formalismus heran, insbesondere die Implementierbarkeit in einer Programmiersprache – die von Church verlangte Terminiertheit ist dadurch allerdings noch nicht gegeben.

Der Begriff der Berechenbarkeit ist dadurch dann so definiert, dass ein Problem genau dann berechenbar ist, wenn es einen (terminierenden) Algorithmus zu dem Problem gibt, d. h. wenn eine entsprechend programmierte Turing-Maschine das Problem in endlicher Zeit lösen könnte.

Abstrakte Automaten

Turingmaschinen harmonieren sehr gut mit den ebenfalls abstrakt-mathematischen berechenbaren Funktionen, reale Probleme sind jedoch ungleich komplexer, daher wurden andere Maschinen vorgeschlagen.

Diese Maschinen weichen z. B. in der Mächtigkeit der Befehle ab; anstatt den einfachen Operationen der Turingmaschine können sie z. T. sehr mächtige Operationen, wie z. B. Fouriertransformationen, in einem Rechenschritt ausführen.

Oder sie beschränken sich nicht auf eine Operation pro Rechenschritt, sondern ermöglichen sehr parallele Operationen, wie z. B. die Addition zweier Vektoren in einem Schritt.

Ein Modell einer realeren Maschine ist die Sequential Abstract State Machine (seq. ASM) mit folgenden Eigenschaften:

Ein Algorithmus einer seq. ASM soll

durch einen endlichen Programmtext spezifiziert werden können
schrittweise ausgeführt werden können
für bestimmte Zustände terminieren, muss aber nicht immer terminieren (sinnvolle Gegenbeispiele für die Forderung, dass immer terminiert werden muss, wären z. B. ein Programm das fortgesetzt Primzahlen findet, oder ein Betriebssystem)
nur begrenzt viele Zustände pro Schritt ändern können (Begrenzung der Parallelität)
nur begrenzt viele Zustände pro Schritt inspizieren können (Begrenzung der Exploration)

Eigenschaften

Nichtdeterministische Algorithmen finden vor allem in der Theoretischen Informatik Anwendung, so, dass in anderen Bereichen oft vorausgesetzt wird, dass es sich um einen deterministischen Algorithmus handelt. Eine Ausnahme bilden sogenannte stochastische randomisierte oder probabilistische Algorithmen, in die absichtlich ein Zufallsfaktor eingebaut wurde. Solche Algorithmen sind demnach nicht deterministisch und auch nicht determiniert. Stochastische Algorithmen dagegen sind im Allgemeinen deterministisch, orientieren sich aber an Erfahrungswerten.

Die verschiedenen formalen Eigenschaften in Kürze:

Determiniertheit

Zu jeder Ausführung mit gleichen Startbedingungen und Eingaben muss das gleiche Ergebnis berechnet werden. Für diese Eigenschaft gibt es jedoch Ausnahmen: z.B. randomisierte Algorithmen, bei denen das Ergebnis zu einem gewissen Grad auf Zufall beruht.

Ein Beispiel für einen Algorithmus der determiniert aber nicht deterministisch ist, ist Quicksort mit zufälliger Wahl des Pivotelements. Das Ergebnis ist bei gleicher Eingabe immer dasselbe, wenn die Sortierung eindeutig ist, der Weg dorthin ist aber zufällig.

Determinismus

Kurz: Es darf immer nur eine Möglichkeit der Programmfortsetzung vorhanden sein.

Deterministisch heißen alle Algorithmen, bei denen zu jedem Zeitpunkt der Ausführung maximal eine Möglichkeit der Programmfortsetzung besteht. Gibt es mehrere Möglichkeiten der Programmfortsetzung und lassen sich diesen Wahrscheinlichkeiten zuweisen, so spricht man von stochastischen, randomisierten oder probabilistischen Algorithmen. In der theoretischen Informatik gibt es neben dem Determinismus auch den Nichtdeterminismus, der aber in der Praxis kaum Verwendung findet. Zusätzliche Bedeutung bekommen solche nichtdeterministische Algorithmen allerdings durch den Einsatz von Quantencomputern, welche auch solche Algorithmen erfolgreich ausführen.

Es gilt übrigens: Jeder deterministische Algorithmus ist auch determiniert. Nicht jeder determinierte Algorithmus ist jedoch deterministisch.

Finitheit (Endlichkeit)

Statische Finitheit

Die Beschreibung des Algorithmus' besitzt eine endliche Länge, d.h. der Quelltext muss aus einer (vllt. umfangreichen, aber doch) begrenzten Anzahl von Zeilen bestehen. Andernfalls könnte der Code auch nicht abgearbeitet werden.

Dynamische Finitheit

Ein Algorithmus darf zu jedem Zeitpunkt seiner Ausführung nur begrenzt viel Speicherplatz benötigen. Diese Bedingung ist notwendig, da keinem Algorithmus unbegrenzt viel Speicherplatz zur Verfügung steht.

Terminiertheit

Ein Algorithmus hält nach endlich vielen Schritten an (bricht kontrolliert ab).

Dies gilt für jede mögliche Eingabe. Würde ein Algorithmus nicht terminieren (und somit zu keinem Ergebnis kommen), wäre die Folge eine sog. Endlosschleife. Für diese Eigenschaft gibt es jedoch Ausnahmen: z.B. Steuerungssysteme, Betriebssysteme und viele weitere Programme, die auf Interaktion mit dem Benutzer aufbauen. Solange der Benutzer keinen Befehl zum Beenden eingibt, laufen diese Programme beabsichtigt endlos weiter. Donald Knuth schlägt in diesem Zusammenhang vor, nicht terminierende Algorithmen als rechnergestützte Methoden ("Computational Methods") zu bezeichnen.

Darüber hinaus lässt sich die Terminierung eines Algorithmus i.A. nicht entscheiden, d.h. es gibt keinen Algorithmus, der für einen beliebigen Algorithmus feststellt, ob er bei einer beliebigen, vorgegebenen Eingabe terminiert (siehe Halteproblem aus der Theoretischen Informatik).

Algorithmenanalyse

Die Erforschung und Analyse von Algorithmen ist eine Hauptaufgabe der Informatik, und wird meist theoretisch (ohne konkrete Umsetzung in eine Programmiersprache) durchgeführt. Sie ähnelt somit dem Vorgehen in anderen mathematischen Gebieten, in denen die Analyse eher auf die zugrunde liegenden Konzepte als auf konkrete Umsetzungen ausgerichtet ist. Algorithmen werden zur Analyse in eine stark formalisierte Form gebracht und mit den Mitteln der formalen Semantik untersucht.

Die Analyse unterteilt sich in verschiedene Teilgebiete. Beispielsweise wird das Verhalten von Algorithmen bezüglich Ressourcenbedarf wie Rechenzeit und Speicherbedarf in der Komplexitätstheorie behandelt, die Ergebnisse werden als asymptotische Laufzeiten angegeben. Der Ressourcenbedarf wird dabei in Abhängigkeit von der Länge der Eingabe ermittelt, d. h. die angegebene Komplexität hängt davon ab, wie groß die Zahlen sind, deren größter gemeinsamer Teiler gesucht wird, oder wie viele Elemente sortiert werden müssen etc.

Das Verhalten bezüglich der Terminierung, d. h. ob der Algorithmus überhaupt jemals erfolgreich beendet werden kann, behandelt die Berechenbarkeitstheorie.

Beispiele

Algorithmen in der Wikipedia

In einzelnen Wikipedia-Artikeln gibt es zahlreiche Algorithmen-Beschreibungen, etwa den euklidischen Algorithmus und Quicksort. Eine Übersicht gibt die Liste von Algorithmen und die Kategorie Algorithmus.

Algorithmen im Alltag

Auch im Alltag begegnen uns Algorithmen in Form von Handlungsanweisungen oder Rezepten:

Prozess	Ausführender	Algorithmus	Typische Anweisung
Kuchenbacken	Bäcker	Rezept	nimm 1 Pfund Mehl / rolle Teig aus
Spielen einer Melodie	Sänger, Instrumentalist	Tonfolge	Datei:Notengruppe.png
Bedienung eines Handys	Anrufer	Bedienungsanleitung	drücke die Taste #
Bau eines Radios	Radiobastler	Schaltplan und Montageanleitung	verbinde die Basis von Transistor T1 mit dem Kollektor von T5
Kassieren im Supermarkt	Kassiererin an Registrierkasse	Bedienungsanleitung für Registrierkasse, Funktionsplan der Registrierkasse	Eintippen von 13,37 +