Lie-Ableitung

Lie-Ableitung für Funktionen und Vektorfelder

Definition der Lie-Ableitung für Funktionen

Seien $M$ eine $C^{\infty }$-Mannigfaltigkeit, $f\in C^{\infty }(M,\mathbb {R} )$ eine glatte Funktion und $X\in C^{\infty }(M,TM)$ ein glattes Vektorfeld. Die Lie-Ableitung der Funktion f in einem Punkt $p\in M$ ist die Ableitung von $f$ entlang $X$.

${\mathcal {L}}_{X}f(p)=X_{p}(f)$

In lokalen Koordinaten bedeutet das:

${\mathcal {L}}_{X}f(p)=\sum _{a\in A}X^{a}{\frac {\partial f}{\partial x^{a}}}$

mit

$X=\sum _{a\in A}X^{a}{\frac {\partial }{\partial x^{a}}}.$

Betrachten wir dazu in lokalen Koordinaten eine Basis $dx^{a}$ des dualen Kotangentialbündels $T^{\star }M$, erhalten wir zu $f:M\to \mathbb {R}$ eine 1-Form $df:M\to T^{\star }M$ im Kotangentialbündel mit:

$df=\sum _{a\in A}{\frac {\partial f}{\partial x^{a}}}dx^{a}.$

Vergleich mit der ursprünglichen Definition liefert in lokalen Koordinaten:

${\mathcal {L}}_{X}f(p)=df(p)\,[X(p)]=\sum _{a\in A}X^{a}{\frac {\partial f}{\partial x^{a}}},$

bzw. global:

${\mathcal {L}}_{X}f=df\,[X].$

Lie-Ableitung von Vektorfeldern

Seien $X,\,Y$ zwei glatte Vektorfelder über einer glatten Mannigfaltigkeit $M$. In lokalen Koordinaten erhalten wir:

$X=\sum _{a\in A}X^{a}{\frac {\partial }{\partial x^{a}}}\;$ bzw.$\;Y=\sum _{a\in A}Y^{a}{\frac {\partial }{\partial x^{a}}}.$

${\mathcal {L}}_{X}Y=[X,Y]$.

Offensichtlich ist

$[X,Y]:=\sum _{a\in A}\left(\sum _{b\in A}X^{b}{\frac {\partial Y^{a}}{\partial x^{b}}}-\sum _{b\in A}Y^{b}{\frac {\partial X^{a}}{\partial x^{b}}}\right){\frac {\partial }{\partial x^{a}}}$

wieder ein glattes Vektorfeld über $M$.

${\mathcal {L}}_{X}Y=[X,Y]$.

Eigenschaften

Die Menge aller glatten Funktionen ${\mathcal {A}}(M)=C^{\infty }(M,\mathbb {R} )$ ist bzgl. der punktweisen Multiplikation eine Algebra. Die Lie-Ableitung ist eine Abbildung:

${\mathcal {L}}_{X}:{\mathcal {A}}(M)\to {\mathcal {A}}(M)$

mit den folgenden Eigenschaften:

• ${\mathcal {L}}_{X}$ ist $\mathbb {R}$-linear
• ${\mathcal {L}}_{X}(fg)=({\mathcal {L}}_{X}f)g+f{\mathcal {L}}_{X}g.$

Man nennt so eine Abbildung auch eine Derivation.

Bezeichnen wir mit ${\mathcal {X}}(M)$ die Menge aller glatten Vektorfelder über $M$, dann ist die Lie-Ableitung ist auch eine Derivation auf ${\mathcal {A}}(M)\times {\mathcal {X}}(M)$

• ${\mathcal {L}}_{X}(fY)=({\mathcal {L}}_{X}f)Y+f{\mathcal {L}}_{X}Y.$

Ferner gilt die Jacobi-Identität:

• ${\mathcal {L}}_{X}[Y,Z]=[{\mathcal {L}}_{X}Y,Z]+[Y,{\mathcal {L}}_{X}Z]$

Wir halten fest: ${\mathcal {X}}(M)$ bildet eine Lie-Algebra.

Definition der Lie-Ableitung auf Differentialformen

Gegeben seinen

• eine glatte Mannigfaltigkeit M,
• ein glatter Schnitt im Tangentialbündel, also ein glattes Vektorfeld und
• eine k+1-Form $\alpha \in \Lambda ^{k+1}(M).$

Durch Evaluation kann man eine Art inneres Produkt zwischen X und $\alpha$ definieren:

$(i_{X}\alpha )(X_{1},\ldots ,X_{k})=(k+1)\alpha (X,X_{1},\ldots ,X_{k})\,$

also eine Abbildung:

$i_{X}:\Lambda ^{k+1}(M)\ni \alpha \rightarrow \in i_{X}\alpha \in \Lambda ^{k}(M)$

Eigenschaften der Lie-Ableitung

• $i_{X}$ ist R-linear
• für beliebiges $f\in \Lambda ^{0}(M)$ gilt $i_{fX}\alpha =fi_{X}\alpha$
• Sei $\beta$ eine beliebige Differentialform über M und $\alpha \in \Lambda ^{k}(M)$

$i_{X}(\alpha \wedge \beta )=(i_{X}\alpha )\wedge \beta +(-1)^{k}\alpha \wedge (i_{X}\beta )$

Weiter oben hatten wir die Lie-Ableitung bzgl. eines Vektorfeldes X für Funktionen über M definiert:

${\mathcal {L}}_{X}f=i_{X}df$

Für echte Differentialformen ist die Lie-Ableitung bzgl. eines Vektorfeldes X wie folgt definiert:

${\mathcal {L}}_{X}\alpha =\left(i_{X}\circ d\ +d\circ i_{X}\right)\alpha$.

Eigenschaften:

• ${\mathcal {L}}_{fX}\alpha =f{\mathcal {L}}_{X}\alpha +df\wedge i_{X}\alpha$
• ${\mathcal {L}}_{X}(\alpha \wedge \beta )=({\mathcal {L}}_{X}\alpha )\wedge \beta +\alpha \wedge ({\mathcal {L}}_{X}\beta )$
• $[{\mathcal {L}}_{X},{\mathcal {L}}_{Y}]\alpha :={\mathcal {L}}_{X}{\mathcal {L}}_{Y}\alpha -{\mathcal {L}}_{Y}{\mathcal {L}}_{X}\alpha ={\mathcal {L}}_{[X,Y]}\alpha$
• $[{\mathcal {L}}_{X},i_{Y}]\alpha =[i_{X},{\mathcal {L}}_{Y}]\alpha =i_{[X,Y]}\alpha .$