Satz von Green

Der Satz von Green (auch Green-Riemannsche Formel oder Lemma von Green) erlaubt es, das Integral über eine ebene Fläche durch ein Kurvenintegral auszudrücken. Der Satz ist benannt nach dem Mathematiker und Physiker George Green, der ihn als erster formuliert hat. Der Satz ist ein Spezialfall des Satzes von Stokes.

Formulierung des Satzes

Sei S ein Kompaktum in der x-y-Ebene mit abschnittsweise glattem Rand ∂S.

Weiter seien f(x,y) und g(x,y) stetige Funktionen und ihre partiellen Ableitungen ${\frac {\partial f}{\partial y}}(x,y)$ und ${\frac {\partial g}{\partial x}}(x,y)$ ebenfalls stetig auf S.

Dann gilt

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „http://localhost:6011/de.wikipedia.org/v1/“:): {\displaystyle \int_S (\frac{\partial g}{\partial x} - \frac{\partial f}{\partial y})\, \mathrm{d}x \, \mathrm{d}y = \oint_{\partial S}(f\, \mathrm{d}x + g \,\mathrm{d}y) } .

Bedeutung

Im Spezialfall ${\frac {\partial f}{\partial y}}(x,y)=0$ und ${\frac {\partial g}{\partial x}}(x,y)=1$ kann der Flächeninhalt eines Gebietes alleine durch den Verlauf der Randkurve bestimmt werden. Entsprechend können mit ${\frac {\partial f}{\partial y}}(x,y)=0$ und ${\frac {\partial g}{\partial x}}(x,y)=x$ bzw. ${\frac {\partial f}{\partial y}}(x,y)=0$ und ${\frac {\partial g}{\partial x}}(x,y)=y$ die Momente erster Ordnung durch ein Kurvenintegral berechnet werden, um den Schwerpunkt der Fläche S zu bestimmen:

$S_{x}={\frac {\int _{S}x\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y}{\int _{S}1\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y}}={\frac {\oint _{\partial S}{\frac {x^{2}}{2}}\,\mathrm {d} y}{\oint _{\partial S}x\,\mathrm {d} y}}$.

Dieses Prinzip wird auch in Planimetern oder Integrimetern verwendet, um Flächeninhalte und Momente höherer Ordnung zu bestimmen.