Wurzel (Mathematik)
In der Mathematik ist die Wurzelfunktion die Umkehrfunktion des Potenzierens.
Beispiel:
- (sprich:"Dritte Wurzel aus 8")
![{\displaystyle x^{3}=8\Leftrightarrow x={\sqrt[{3}]{8}}}](/media/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8e90b57991153eca5f10e8ac17491fe78dac497)
Der Term unter dem Wurzelzeichen wird als Radikand bezeichnet.
Wurzeln werden durch das Symbol: "√" notiert, wobei der Wurzelexponent, der in der Regel links oben angeschrieben wird, wegfallen kann, falls er den Wert 2 hat:
![{\displaystyle {\sqrt[{2}]{x}}=:{\sqrt {x}}}](/media/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d5b006ed74d2571c6ee9272af7f7efe5586780f)
In diesem Falle handelt es sich um eine Quadratwurzel. Des weiteren werden Wurzeln mit Wurzelexponent 3 speziell Kubikwurzeln genannt.
Es gilt
![{\displaystyle {\sqrt[{n}]{x^{n}}}=x}](/media/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c2edf48b0011519cbf8743ba8b2c6b7db8c2cf7)
bei geraden Wurzelexponenten gilt: Eine Lösung ist nur für positive Radikanden definiert. Der Index muss aus den reellen Zahlen stammen (meist ist aber n aus den natürlichen Zahlen interessant). Das Ergebnis ist eine positive Zahl .Um aus Wurzeln aus negativen Zahlen ziehen zu können, muss man in die Menge der komplexen Zahlen ausweichen. bei ungeraden Wurzelexponenten gilt: Eine Lösung ist für alle natürlichen Zahlen definiert. Ist der Radikand positiv, so ist das Ergebnis positiv. Ist der Radikand negativ, so ist das Ergebnis auch negativ.
Die Wurzel ist selbst eine Potenzfunktion, es gilt . Die Rechenregeln für Wurzeln ergeben sich somit aus jenen für Potenzen.
![{\displaystyle {\sqrt[{n}]{x^{m}}}=x^{\frac {m}{n}}}](/media/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d91b3c9d16a74ea1b7bc7f51573f8204a6f7e76)
Das Wurzelziehen heißt auch Radizieren (von lateinisch radix, die Wurzel). Es wurde vom deutschen Mathematiker Adam Ries eingeführt.
Da das Potenzieren nicht kommutativ ist, gibt es noch eine zweite Umkehrfunktion, den Logarithmus.
Rechenregeln zur Berechnung am Computer
Höhere Wurzeln aus positiven Zahlen x erhält man so:
![{\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}=x^{1/n}=\exp(\ln(x)/n)}](/media/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd6b29ea81fc26fccd6260bad22518c638b30908)
Imaginäre Quadratwurzeln aus negativen x kann man so berechnen:
- Imaginärteil des Ergebnisses =
Siehe auch: Schriftliches Wurzelziehen, Einheitswurzel
Für die veraltete Bedeutung der Wurzel als Lösung einer Gleichung, siehe den Artikel Nullstelle.
Für die spezielle Bedeutung in der Darstellungstheorie, siehe den Artikel Wurzelsystem.