Fermi-Dirac-Statistik

Illustration der Besetzung für Fermi-Dirac- (durchgezogen, schwarz) und zum Vergleich der Bose-Einstein- (gepunktet, grau) Statistik.

Die Fermi-Dirac-Statistik ist eine Form einer Quantenstatistik, die für Teilchen mit halbzahligem Spin (Fermionen) gültig ist.

Kernpunkt der Fermi-Dirac-Statistik ist, dass die Wellenfunktion (oder der "Zustandsvektor") eines Vielteilchensystems bezüglich Vertauschung zweier Teilchen antisymmetrisch ist, es also zu einem Vorzeichenwechsel kommt. Als Konsequenz davon ergibt sich das Pauli-Prinzip, demzufolge zwei in allen Quantenzahlen identische Fermionen niemals zum gleichen Gesamtzustand eines Systems beitragen können. Da in diesem Fall die Vertauschung der Teilchen nämlich offenbar keine Auswirkungen hätte, folgt aus der Forderung nach Vorzeichenwechsel, dass die Wellenfunktion insgesamt verschwinden muss. Ebenso ergibt sich daraus die Fermiverteilung als Besetzungsstatistik für Fermionen.

Die Tatsache, dass gerade Teilchen mit halbzahligem Spin der Fermi-Dirac-Statistik folgen, bezeichnet man als Spin-Statistik-Theorem. Es folgt aus den Grundannahmen der relativistischen Quantenfeldtheorie.

Die mittlere Besetzungszahl durch Fermionen innerhalb eines Systems bei einer bestimmten Energie $E_{i}$ wird folgendermaßen beschrieben:

\langle n(E_{i})\rangle ={\frac {1}{e^{c(E_{i}-\mu )}+1}}

Hierbei ist μ das chemische Potenzial und c die Energienormierung. Diese wird üblicherweise zu ${\frac {1}{k_{B}T}}$ gewählt (mit der Boltzmann-Konstanten $k_{B}$ und der absoluten Temperatur T):

N_{i}={\frac {g_{i}}{e^{\frac {E_{i}}{k_{B}T}}+1}}

Für den Grenzfall sehr großer Energien geht die Fermi-Dirac-Statistik in die Boltzmann-Statistik über.

Siehe auch: