Ohmsches Gesetz

Als ohmsches Gesetz (nach seinem Entdecker Georg Simon Ohm) wird die Tatsache bezeichnet, dass der Spannungsabfall U über bestimmte metallische Leiter, sog. ohmsche Widerstände, direkt proportional zu dem hindurchfließenden elektrischen Strom der Stromstärke I ist, also

$U\propto I$

Die Proportionalitätskonstante wird dabei als elektrischer Widerstand des Bauteils bezeichnet und mit R notiert, womit sich

$U=R\cdot I$

ergibt. Als Einheit wird 1 Ohm = 1 $\Omega$ = 1 V/A benutzt.

Das ohmsche Gesetz lautet in dieser Schreibweise daher $R=konst$, während die Gleichung $U=R\cdot I$ die Definitionsgleichung für den elektrischen Widerstand ist.

Hintergründe

Mikroskopische Betrachtungsweise / maxwellsche Materialgleichung

In einer mikroskopischen Betrachtung wird das ohmsche Gesetz durch die lineare Abhängigkeit zwischen dem Stromdichte-Vektor $\mathbf {\vec {j}} _{m}$ und dem elektrischen Feldstärke-Vektor $\mathbf {\vec {E}} _{n}$ beschrieben, also

$\mathbf {\vec {j}} _{m}=\mathbf {\sigma } _{mn}\cdot \mathbf {\vec {E}} _{n}.$

In isotropen Materialien ist der Tensor $\sigma _{mn}$ durch einen Skalar approximierbar und es gilt:

$\mathbf {j} =\mathbf {\sigma } \cdot \mathbf {E}$.

Hierbei ist $\sigma$ die elektrische Leitfähigkeit.

Wenn man die Bewegung freier Elektronen wie die ungeordnete Molekülbewegung eines Gases betrachtet, kann man Konstanz der elektrischen Leitfähigkeit plausibel machen. Die Zähldichte $n$ der Elektronen ist dann innerhalb des Leiters konstant. Die mittlere Geschwindigkeit der Elektronen ist ${\bar {v}}=10,6\cdot 10^{6}m/s$. Die mittlere Wegstrecke $\lambda$ zwischen zwei Stößen an Ionen im Metall wird in einer typischen Zeit $\tau _{s}$ zurückgelegt, $\lambda ={\bar {v}}\tau _{s}$. In dieser Zeit erfahren die Elektronen eine Beschleunigung durch das angelegte E-Feld, $a=eE/m$, $e$: Elementarladung, $m$: Elektronenmasse, und erreichen somit eine Driftgeschwindigkeit $v_{d}=a\tau _{s}$. Setzt man dies in die Gleichung für $\sigma$ ein, erhält man:

$\sigma ={\frac {j}{E}}={\frac {nev_{d}}{E}}={\frac {nea\tau _{s}}{E}}={\frac {ne^{2}\tau _{s}}{m}}={\frac {ne^{2}\lambda }{m{\bar {v}}}}$

$\lambda$ und ${\bar {v}}$ hängen nur von der Geschwindigkeitsverteilung innerhalb der „Elektronenwolke“ ab. Da die Driftgeschwindkeit aber ca. 10 Größenordnungen kleiner ist als die mittlere Geschwindkeit ${\bar {v}}$, ändert sich die Geschwindkeitsverteilung durch das Anlegen eines E-Feldes nicht und $\lambda$ und $\tau _{s}$ sind konstant und somit der ganze Ausdruck für $\sigma$.

Mathematische Betrachtung

Prinzipiell gilt für jedes Bauteil, dessen Spannungsfall nur vom Strom abhängt:

$U=f(I)$

Wenn diese Funktion keine Sprungstellen aufweist, kann man sie in eine Potenzreihe entwickeln:

$U=x_{0}+x_{1}\cdot I+x_{2}\cdot I^{2}+x_{3}\cdot I^{3}+\ldots$

Ist $x_{0}=0$ (keine Spannungsquelle) und $x_{2},x_{3},\ldots$ vernachlässigbar, bezeichnet man $x_{1}$ als ohmschen Widerstand und bezeichnet ihn als $R$.

Gültigkeitsbereich

Im Allgemeinen ist der Widerstand von mehreren Faktoren wie z. B. der Temperatur oder Stärke eines äußeren Magnetfeld abhängig. Obige Herleitung zeigt auch, dass das Gesetz wahrscheinlich nicht mehr gilt, wenn die Frequenz eines angelegten E-Feldes in die Nähe der Größe gelangt oder größer wird als das Inverse der mittleren Zeit zwischen zwei Stößen (siehe Plasmafrequenz).

Spezielle Legierungen, z. B. Konstantan. haben einen in weiten Bereichen nahezu temperaturunabhängigen Widerstand.

Nicht erfüllt ist das ohmsche Gesetz z. B. für Halbleitermaterialien, bei denen gerade dies ausgenutzt wird.