Steifigkeit

Die Steifigkeit ist eine Größe in der Technischen Mechanik, die den Zusammenhang zwischen der Last, die auf einen Körper einwirkt und dessen Verformung beschreibt. Die Steifigkeit eines Körpers ist von dessen Werkstoff sowie der Geometrie abhängig. Je nach Belastungsart unterscheidet man unterschiedliche Steifigkeiten, z. B. Biege-, Dehn- oder Torsionssteifigkeit. Der Kehrwert der Steifigkeit wird Nachgiebigkeit genannt.

Die Steifigkeit gehört mit der Risszähigkeit, Festigkeit, Duktilität, Härte, Dichte und der Schmelztemperatur zu den Werkstoffeigenschaften eines Werkstoffes.

Steifigkeiten

Steifigkeiten bestehen immer aus einem Werkstoff- und einem Geometrieterm. Welche Werkstoffgröße eingesetzt wird - also Schub- oder Elastizitätsmodul – hängt von der Beanspruchung ab, die die äußere Belastung hervorruft. Steifigkeiten werden so notiert, dass sich bezogene Verformungsgrößen ergeben, also z. B. Dehnungen statt Längenänderungen. Dies ist darin begründet, dass die Steifigkeit eine Eigenschaft des Querschnitts ist. Die Querschnittgeometrie kann sich jedoch über die Länge eines Bauteils ändern, so dass die Multiplikation mit der Länge nicht immer korrekt ist. Die Federkonstante ist ein Sonderfall.

Dehnsteifigkeit

Die Dehnsteifigkeit ist das Produkt des Elastizitätsmoduls des Werkstoffs in Belastungsrichtung mal der Querschnittsfläche senkrecht zur Belastungsrichtung. Sie ist unabhängig von der Form des Querschnitts, sie hängt von dessen Fläche ab.

$E\cdot A$ zum Beispiel in $\mathrm {N}$

Obige Formulierung gilt für freie Querkontraktion des Querschnitts. Bei behinderter Querkontration wird für den Elastizitätsmodul der querkontraktionsbehinderte Modul eingesetzt. Die Längsdehnung $\epsilon$ des Körpers ist der angreifenden Normalkraft $F$ sowie der Dehnsteifigkeit proportional.

$\epsilon ={\frac {F}{EA}}$

Biegesteifigkeit

Die Biegesteifigkeit ist das Produkt aus Elastizitätsmodul und Flächenmoment 2. Grades $I$ des Querschnitts. Das Flächenmoment 2. Grades hängt wesentlich von der Form des Querschnitts ab.

$E\cdot I$ zum Beispiel in $\mathrm {Nmm^{2}}$

Wie stark die Durchbiegung bzw. Absenkung eines biegebeanspruchten Bauteils bei gegebener Last ist, hängt neben der Biegesteifigkeit auch von dessen Länge und den Lagerungsbedingungen ab. Die Krümmung $\kappa$ des Körpers ist dem angreifenden Biegemoment $M_{\mathrm {B} }$ sowie der Biegesteifigkeit proportional.

$\kappa ={\frac {M_{\mathrm {B} }}{EI}}$

Torsionssteifigkeit

Die Torsionssteifigkeit ist das Produkt aus dem polaren Flächenmoment 2. Grades $I_{\mathrm {p} }$ und des Schubmoduls $G$ des Werkstoffs. Das polare Flächenmoment ist bezogen auf die Achse, um die der Körper tordiert wird.

$G\cdot I_{\mathrm {p} }$ zum Beispiel in $\mathrm {Nmm^{2}}$

Wie stark, das heißt um welchen Winkel, ein Körper unter einer bestimmten Last verdreht wird, hängt neben dem polaren Flächenmoments 2. Ordnung auch von dessen Länge und den Lagerungsbedingungen ab. Die Drillung $\vartheta '$ des Körpers ist dem angreifenden Torsionsmoment $M_{\mathrm {T} }$ sowie der Torsionssteifigkeit proportional.

$\vartheta '={\frac {M_{\mathrm {T} }}{GI_{\mathrm {p} }}}$

Federkonstante

In der Praxis ist oft nicht die Dehnung $\epsilon$ , sondern die absolute Längenänderung $\Delta L$ von Interesse. Daher wird bei Federn die Federkonstante durch das Verhältnis der notwendigen Kraft $F$ für eine bestimmte Auslenkung $\Delta L$ beschrieben. Die Federkonstante besteht aus der Steifigkeit der Feder, dividiert durch ihre Länge. Während die Dehnsteifigkeit unabhängig von der Länge der Feder ist, halbiert sich die Federkonstante, wenn die Länge der Feder verdoppelt wird.

Beispiel: Ein Zugstab mit dem Querschnitt A=100mm² und einem Elastizitätsmodul von 210 000 N/mm² hat eine Steifigkeit von E·A = 2,1×10⁷N. Ist der Stab L=100mm lang so beträgt seine Federkonstante E·A / L = 210 000 N/mm. Die Berechnung gilt nur dann, wenn der Querschnitt des Stabs konstant ist.

Steifigkeit und Festigkeit

Steifigkeit ist nicht mit Festigkeit zu verwechseln.

Die Festigkeit ist ein Maß für die ertragbaren Belastungen eines Werkstoffs. Dieser Grenzwert (z.B. die Zugfestigkeit $R_{m}$ ) kann in Material-Datenblättern nachgeschlagen werden.
Die Steifigkeit eines Bauteils hängt von der Steifigkeit des Materials (E- oder G-Modul), aber auch von der Grösse und Form der Querschnittsfläche ab.

Wie steif ein Bauteil ist, hat nichts mit dessen Festigkeit zu tun!

Siehe auch