Vollkommene Zahl

Eine natürliche Zahl wird dann vollkommene Zahl oder auch perfekte Zahl genannt, falls sie gleich der Summe ihrer echten Teiler ist. Ein echter Teiler teilt eine Zahl ohne Rest; die Zahl selbst gilt nicht als echter Teiler.

Das Beispiel der vollkommenen Zahl 28 veranschaulicht die Definition. Die 28 hat die Zahlen 1, 2, 4, 7 und 14 als echte Teiler. Teilt man 28 durch eine dieser Zahlen, so entsteht immer eine ganze Zahl, ohne Rest.

28 / 14 = 2

28 / 7 = 4

usw.

Die vollkommene Zahl 28 entsteht durch die Summe ihrer echten Teiler:

28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14

Die ersten sechs vollkommenen Zahlen sind:

1. vollkommene Zahl	6 =	1 + 2 + 3
2. vollkommene Zahl	28 =	1 + 2 + 4 + 7 + 14
3. vollkommene Zahl	496 =	1 + 2 + 4 + 8 +...+ 248
4. vollkommene Zahl	8128 =	1 + 2 + 4 + 8 +...+ 4064
5. vollkommene Zahl	33 550 336 =	1 + 2 + 4 + 8 +...+ 16 775 168
6. vollkommene Zahl	8 589 869 056 =	1 + 2 + 4 + 8 +...+ 4 294 934 528

usw.

Alle genannten vollkommenen Zahlen sind gerade. Es ist unbekannt, ob es auch ungerade vollkommene Zahlen gibt. Man weiß jedoch, dass eine solche Zahl, wenn es sie denn gäbe, größer als 10¹⁰⁰ sein müsste und mindestens 11 verschiedene Primteiler haben müsste.

Eine formale Definition für eine vollkommene Zahl x ist:

$x=\sum _{i=1}^{N}y_{i}$

wobei für $y_{i}$ gilt: $y_{i}$ ist enthalten in T, der Menge der echten Teiler von x

Die zur Zeit (Sept. 2002) größte bekannte vollkommene Zahl ist 2^{1 398 268}*(2^{1 398 269} - 1).
Sie genügt der Formel x = 2ⁿ*(2ⁿ⁺¹ - 1) ( $n\in \mathbb {N}$), den natürlichen Zahlen), der viele (evtl. alle bekannten?) vollkommenen Zahlen genügen. Diese Formel zeigt die Verwandtschaft mit den Mersenne-Primzahlen: >*(2ⁿ⁺¹ - 1) sind nämlich Mersenne-Primzahlen.

Verwandt mit den vollkommenen Zahlen sind die befreundeten Zahlen bei denen die Summe der Teiler der einen Zahl jeweils die andere Zahl ergibt.

Man kann zeigen:
Die Summe der Teiler einer vollkommenen Zahl n ergibt immer ( 2 - 1/n )