Gruppoid (Kategorientheorie)

Eine Menge zusammen mit einer inneren Verknüpfung heißt Gruppoid. Hat die innere Verknüpfung noch spezielle Eigenschaften, so erhält das Gruppoid eine entsprechende andere Bezeichnung: Halbgruppe, Monoid, (abelsche) Gruppe.

Verknüpfung ist ...		kommutativ
assoziativ	Halbgruppe	kommutative Halbgruppe
neutrales Element vorhanden	Monoid	kommutatives Monoid
alle inversen Elemente vorhanden	Gruppe	abelsche Gruppe

Beispiele

• ($\mathbb {N}$, +) ist eine kommutative Halbgruppe, aber kein Monoid.
• ($\mathbb {N} _{0}$, +) ist ein kommutatives Monoid, aber keine Gruppe.
• ($\mathbb {Z}$, +) ist eine abelsche Gruppe.
• ($\mathbb {R}$, $\cdot$) ist ein kommutatives Monoid, aber keine Gruppe, weil 0 nicht invertierbar ist.
• ($\mathbb {Z} _{n}$, +) ist für alle n $\in$ $\mathbb {N}$ eine abelsche Gruppe.
• ($\mathbb {Z} _{n}$, $\cdot$) ist für alle n $\in$ $\mathbb {N}$ ein kommutatives Monoid.