Verband (Mathematik)

Definition

Ein Verband (V, $\cap$, $\cup$) ist eine nichtleere Menge V mit zwei inneren binären Verknüpfungen $\cap$ (Durchschnitt) und $\cup$ (Vereinigung), die folgenden Bedingungen für alle u, v, w $\in$ V genügen:

a)	u $\cap$ v = v $\cap$ u	,	u $\cup$ v = v $\cup$ u		(Kommutativität)
b)	u $\cap$ ( v $\cap$ w ) = ( u $\cap$ v ) $\cap$ w	,	u $\cup$ ( v $\cup$ w ) = ( u $\cup$ v ) $\cup$ w		(Assoziativität)
c)	u $\cap$ ( u $\cup$ v ) = u	,	u $\cup$ ( u $\cap$ v ) = u		(Absorptionsgesetze)
d)	u $\cap$ u = u	,	u $\cup$ u = u		(Idempotenzgesetze)

V ist also bezüglich jeder einzelnen Verknüpfung eine kommutative Halbgruppe, in der jedes Element idempotent ist. Die Verknüpfungen treten beim Absorptionsgesetz in Wechselwirkung.