Gammafunktion

Graph der Gammafunktion im Reellen

Betrag der Gammafunktion für komplexe Argumente

Die Gammafunktion ist in der Mathematik eine Funktion, die definiert wird als

$\Gamma (x)=\int _{0}^{\infty }t^{x-1}e^{-t}\mathrm {d} t$

für $x>0$. Sie genügt der Funktionalgleichung

$\Gamma (x+1)=x\cdot \Gamma (x)$,

aus der sich mit der Bedingung $\Gamma (1)=1$ der Wert der Gammafunktion für alle positiven ganzen Zahlen $n$ als

$\Gamma (n)=(n-1)!$

ergibt. Sie erweitert also die Fakultätsfunktion auf die positiven reellen Zahlen.

Die Gammafunktion lässt sich als meromorphe Funktion ohne Nullstellen auf die komplexe Zahlenebene mit einfachen Polstellen an den nichtpositiven ganzen Zahlen fortsetzen.

Aus der Gammafunktion leitet sich Gamma-Wahrscheinlichkeitsverteilung ab.

Darstellungsformen

Eine weitere Ausweitung des Definitionsbereichs erlaubt die Darstellung der Gammafunktion nach Gauß:

$\Gamma (x)=\lim _{n\to \infty }{\frac {n!\,n^{x}}{x(x+1)(x+2)\cdots (x+n)}}\;{\hbox{für}}\;x\in \mathbb {R} \backslash \{0,-1,-2,\dots \}.$

Direkt aus der Gaußschen Darstellungsform abgeleitet ist diejenige von Karl Weierstraß:

$\Gamma (x)=\left[x\cdot \mathrm {e} ^{\gamma x}\cdot \prod _{k=1}^{\infty }\left(1+{\frac {x}{k}}\right)\mathrm {e} ^{-x/k}\right]^{-1},$

wobei die Eulersche Konstante γ definiert ist als

$\gamma =\lim _{n\to \infty }\left(\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}-\ln n\right).$

Näherungswerte der Gammafunktion für $x>0$ liefert die Stirlingsche Formel da

$x!=\Gamma (x+1)={\sqrt {2\pi }}{\frac {x^{x+1/2}}{\mathrm {e} ^{x-\mu (x)}}}$

folgt für die Gamma Funktion

$\Gamma (x)={\sqrt {2\pi }}{\frac {x^{x-1/2}}{\mathrm {e} ^{x-\mu (x)}}}\;{\hbox{mit}}\;0<\mu (x)<{\frac {1}{12x}}.$

Der Satz von Bohr-Mollerup

Der Satz von Bohr-Mollerup (H. Bohr und J. Mollerup, 1922) erlaubt eine erstaunlich einfache Charakterisierung der Gammafunktion:

Eine Funktion $G\colon \mathbb {R} _{>0}\to \mathbb {R} _{>0}$ ist in diesem Bereich gleich der Gammafunktion, wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind:

1. $G(1)=1\$
2. $G(x+1)=x\cdot G(x)$
3. $G\$ ist logarithmisch konvex, d.h. $x\mapsto \log G(x)$ ist eine konvexe Funktion.

Funktionalgleichungen

Die Gammafunktion genügt der Funktionalgleichung

$\Gamma (x+1)=x\cdot \Gamma (x)$ mit $\Gamma (1)=1$

Der Ergänzungssatz der Gammafunktion

$\Gamma (x)\Gamma (1-x)={\frac {\pi }{\sin(\pi x)}}$

erleichtert die Berechnung von Werten der Gammafunktion aus bereits bekannten Funktionswerten ebenso wie die Legendresche Verdopplungsformel

$\Gamma \left({\frac {x}{2}}\right)\Gamma \left({\frac {x+1}{2}}\right)={\frac {\sqrt {\pi }}{2^{x-1}}}\Gamma (x).$

Verallgemeinerung: Unvollständige Gammafunktion

Wenn die obere Integrationsgrenze des Integrals ein fester, endlicher Wert ist, spricht man von der unvollständigen Gammafunktion:

$\gamma (x,y)=\int _{0}^{y}t^{x-1}e^{-t}\,\mathrm {d} t$

Geschichtliches

1730 stellte Leonhard Euler in einem Brief an Christian Goldbach folgendes Integral zur Interpolation der Fakultätsfunktion vor:

$\Gamma (x)=\int _{0}^{1}\left[\ln \left({\frac {1}{t}}\right)\right]^{x-1}\mathrm {d} t$

(Diese Funktionsdefinition geht durch die Substitution $u=\ln(1/t)$ in die obige Form über.)

Dieses Integral entdeckte Euler bei der Untersuchung eines Problems aus der Mechanik, bei dem die Beschleunigung eines Partikels betrachtet wird.

Literatur

• Emil Artin: Einführung in die Theorie der Gammafunktion. Leipzig, Teubner 1931.
  (nur noch in Bibliotheken erhältlich)
• Konrad Königsberger: Analysis 1. Heidelberg, Springer 2003, ISBN 3-540-40371-X.

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Gamma Function. In: MathWorld (englisch).
• gamma function. In: PlanetMath. (englisch)