Diskussion:Lineare Abbildung

voll kompliziert

wenn ich mal zeit habe dann werde ich einen absatz in nichtfachchinesisch hinzufügen.

Antwort: Ich habe einen neue Einleitung hinzugefügt. Findest du diese unkompliziert? --Squizzz 00:26, 8. Feb 2006 (CET)

Darstellungsmatrix

In dem Abschnitt bleibt m.E. unklar, was man tun muss, um "die Bilder der Basisvektoren von $V$ als Spalten einer Matrix" aufzufassen, wenn $W$ kein Spaltenvektorraum ist, sondern z.B. aus reellen Funktionen besteht. Außerdem klingt es so, als ob diese Matrix nur von der Basis in $V$ abhinge, und nicht auch von der in $W$. --HeikoTheissen 08:44, 13. Feb 2006 (CET)

Antwort: Ich habe noch einen Satz eingefügt, der auf die Abhängigkeit von der Basis von $W$ eingeht. Allerdings würde ich mich freuen, wenn jemand eine leichter zugängliche Formulierung findet --Squizzz 23:04, 14. Feb 2006 (CET)

Ein Problem ist jedenfalls, dass in den Spalten der Matrix eben nicht die Bilder $f(v_{i})$ stehen, sondern ihre Koordinatendarstellungen. Wenn man die duale Basis vermeiden will, ist es schwierig, über die Umkehrungen der vertikalen Pfeile in

Datei:Matrix representation of a linear map.png

zu sprechen.--Gunther 23:32, 14. Feb 2006 (CET)

Ich habe nach wie vor Probleme mit der Formel $M_{B}^{A}(f)={\begin{pmatrix}\vert &\vert &&\vert \\f({\vec {v}}_{1})&f({\vec {v}}_{2})&\cdots &f({\vec {v}}_{n})\\\vert &\vert &&\vert \end{pmatrix}}$, wenn ich mir vorstelle, dass $f({\vec {v}}_{1})$ eine reelle Funktion sein kann. Vielleicht könnte man das als anschaulicheren Sonderfall vorweg behandeln, wenn $W=K^{m}$ mit der Standardbasis ist. Im allgemeinen Fall besteht die Matrix $M_{B}^{A}(f)$ aus den Zahlen $c_{ij}$ (vgl. Matrix (Mathematik)#Zusammenhang mit linearen Abbildungen). --HeikoTheissen 08:48, 15. Feb 2006 (CET)

Bei der Schreibweise $M_{B}^{A}(f)$ kann man Urbild- und Bildraum leichter verwechseln als bei der in Matrix (Mathematik)#Zusammenhang mit linearen Abbildungen verwendeten Schreibweise ${}_{B}f_{A}$, aus der sich m.E. auch leichter zu merkende Multiplikationsregeln ergeben. Was meint Ihr? --HeikoTheissen 13:17, 9. Jun 2006 (CEST)

Rein intuitiv ist $M_{B}^{A}(f)$ für mich eine Matrix und ${}_{B}f_{A}$ ein Endomorphismus und damit was anderes. --Squizzz 14:03, 9. Jun 2006 (CEST)

Wie wäre es mit der Schreibweise ${}_{B}[f]_{A}$ für die Matrix? Mir kommt es wegen der Multiplikationsregeln auf das B links unten und das A rechts unten an. --HeikoTheissen 14:28, 9. Jun 2006 (CEST)

Abbildungsmatrix

Der Abschnitt zur Darstellungsmatrix überschneidet sich mittlerweile auch mit dem Artikel Abbildungsmatrix. Kann der Abschnitt Darstellungsmatrix daher nicht wegfallen und in Abbildungsmatrix eingearbeitet werden? --HeikoTheissen 18:11, 27. Sep 2006 (CEST)

Ehrlich gesagt halte ich den Artikel Abbildungsmatrix für überflüssig. Der Begriff ist IMHO nicht so geläufig und der Zusammenhang zwischen Matrizen und linearen Abbildungen muss einfach in beiden Artikeln reläutert werden. --P. Birken 09:38, 28. Sep 2006 (CEST)

Pfeile über Vektoren

Jeder LA Professor würde wahrscheinlich tot umkippen wenn er sieht das hier Pfeile über den V´s udn w´s stehen ;) Vektoren sind nunmal nicht nur Pfeile, sondern alles mögliche. Ich empfehle daher die Pfeile zu entfernen.

--137.226.102.25 14:40, 14. Feb 2006 (CET)

Nun ja, es gibt nun einmal Leute, die diese Pfeilchen lieben (z.B. Physiker), und ein bisschen Rücksicht kann man ja nehmen. Bei der "formalen Definition" wird ja dann auch auf Luftschlangen und Konfetti verzichtet.--Gunther 14:43, 14. Feb 2006 (CET)

Ich "bin" selber Physiker im 3. Semester und wenn wir so Pfeile malen dann immer nur wenn es zB um eine gerichtete Kraft geht. Da es hier aber um allgemeine Vektoren geht halte ich sie für unangebracht,.. Ich verstehe schon das man das von der Schule her so kennt, aber gerade das halte ich ja für irreführend

--137.226.102.25 15:01, 14. Feb 2006 (CET)

In der Einleitung geht es doch gerade um die Anschauung und nicht um allgemeine Vektoren.--Gunther 15:03, 14. Feb 2006 (CET)

das richtig,mir gehts auch gerade um den teil ab Darstellungsmatrix abwärts,... --137.226.102.25 16:38, 14. Feb 2006 (CET)

Ach das. Hm, ja, erscheint mir schon nicht ganz blöd, bei $\sum x_{i}v_{i}$ deutlich zu machen, dass x_i Koordinaten eines Vektors und v_i für sich genommen schon Vektoren sind. Ob man die Unterscheidung nun mit griechischen Buchstaben oder mit Pfeilchen macht, wäre mir egal.--Gunther 16:41, 14. Feb 2006 (CET)

Dann würde ich die Griechische Buchstabensuppe bevorzugen... sonst verwirrt es halt zu sehr mit der "Schul-LA". Mald ochn schönes Lambda hin, gut is.--137.226.102.25 16:49, 14. Feb 2006 (CET)

Wenn man die Pfeilchen konsequent nur für Zeilen- oder Spaltenvektoren verwenden würde, dann würde es ja auch zur Vorstellung aus der Schule passen. Aber wie Heiko oben schon anmerkte, gibt es bei dem fraglichen Abschnitt wesentlich gravierendere Probleme.--Gunther 16:59, 14. Feb 2006 (CET)

Da ich dich Pfeilchen angebracht habe: damit wollte ich eine leichte Unterscheidung zwischen Vektoren und Skalaren ermöglichen. Das halte ich auch sinnvoll. Und ich weiß nicht, ob die erwähnte Schul-LA so einheitlich ist. Ich kannte in der Schule, soweit ich mich erinnern kann, nur Vektoren, die mit Pfeil geschrieben wurden. Aber im Moment mach ich mir erst mal Gedanken, wie ich die Einwände zur Darstellungsmatrix sprachlich verständlich ausmerzen kann. --Squizzz 17:05, 14. Feb 2006 (CET)

Frage zum Abschnitt Formale Definition

Am Ende des Abschnitts "Formale Definition" steht:

"Eine andere, gleichwertige Bedingung ist die Forderung, dass der Graph der Abbildung f ein Untervektorraum der Summe der Vektorräume V und W ist."

Wie ist das zu verstehen, enthält der Graph der linearen Abbildung doch nicht Elemente aus V + W, sondern aus V x W.(?)

Die direkte Summe und das direkte Produkt von zwei (oder allgemeiner endlich vielen) Vektorräumen sind dasselbe.--Gunther 17:52, 4. Apr 2006 (CEST)

Lineare Operatoren

Endlichdimensionale Vektorräume tragen eine eindeutig bestimmte Topologie, deshalb ist die Angabe überflüssig. Ich finde jedoch den ganzen Halbsatz unklar: Bedeutet die Tatsache, dass im endlichdimensionalen Fall Stetigkeit automatisch gegeben ist, dass man dort alles auch Operator nennen darf, oder dass man deshalb dort nicht von Operatoren spricht? Ersteres ist schon durch die formale Synonymie abgedeckt, letzteres glaube ich nicht und fände es auch wenig logisch.--Gunther 09:20, 9. Jun 2006 (CEST)

Endlich-dimensionale Vektorräume über den reellen oder komplexen Zahlen haben bis auf Äquivalenz nur eine Norm und daher eine eindeutig bestimmte norminduzierte Topologie. Bezüglich dieser ist die Stetigkeit dann immer gegeben (und deshalb spricht man nicht extra von Operatoren). Allerdings sind ja noch andere Topologien denkbar, die nicht von einer Norm induziert werden, und dann ist nicht immer alles stetig. Die Identitätsabbildung von (R, euklidische Topologie) -> (R, diskrete Topologie) ist zwar linear, aber nicht stetig. --HeikoTheissen 09:32, 9. Jun 2006 (CEST)

en:topological vector space#Topological structure, letzter Absatz. Z.B. en:bounded operator#Examples oder [1] spricht auch im endlichdimensionalen Fall von Operatoren, da gibt es einfach keine strikte Trennung.--Gunther 09:37, 9. Jun 2006 (CEST)

Alternativvorschlag:

[…] während alle linearen Abbildungen zwischen endlichdimensionalen reellen topologischen Vektorräumen stetig sind.

Denn der abstrakte Normbegriff tut auf dem $\mathbb {R} ^{n}$ nichts zur Sache, der Stetigkeitsbegriff ist auch so bekannt.--Gunther 11:04, 9. Jun 2006 (CEST)

Jetzt bin ich nicht sicher: Ist (R, diskrete Topologie) nicht auch ein topologischer Vektorraum? Dann wäre mein Beispiel oben eine lineare Abbildung zwischen topologischen Vektorräumen, die trotzdem nicht stetig ist, weil die beiden Topologien nicht zu einander passen. --HeikoTheissen 11:26, 9. Jun 2006 (CEST)

Nein, für einen TVR müssen die Abbildung $\mathbb {R} \times V\to V$ und damit auch jede Abbildung $\mathbb {R} \to V,\lambda \mapsto \lambda v$ stetig sein. Mit dem Argument "bijektiv stetig von kompakt nach Hausdorff ist Homöomorphismus" sollte man dann fertig sein.--Gunther 11:30, 9. Jun 2006 (CEST)

Das muss ich mal in Ruhe nachvollziehen... Was ist denn dabei kompakt? Ich habe aber, glaube ich, noch ein einfacheres Beispiel: (R, indiskrete Topologie) (nur die leere Menge und R sind offen) ist ein topologischer Vektorraum, weil alle Abbildungen in einen indiskreten Raum hinein stetig sind (also auch die Addition und Skalarmultiplikation R x R -> R). Und die Identitätsabbildung (R, indiskrete Topologie) -> (R, euklidische Topologie) ist linear, aber nicht stetig. Stimmt das? --HeikoTheissen 12:35, 9. Jun 2006 (CEST)

Ja, und deshalb sollte man eben noch fordern, dass TVR hausdorffsch sind. Kompakt ist das Einheitsintervall, und durch Translationen müsste man sich einen globalen Homöomorphismus basteln können.--Gunther 12:41, 9. Jun 2006 (CEST)

Du hast Recht, (R, diskret) ist kein TVR, und (R, indiskret) ist nicht hausdorffsch. Ich habe also kein Gegenbeispiel mehr :-) --HeikoTheissen 12:57, 9. Jun 2006 (CEST)

Spezialfälle

Zitat:"Ein Endomorphismus zwischen Vektorräumen ist eine lineare Abbildung" Ich würde das Wort linear hier jeweils streichen da sonst der Eindruck entsteht ein Endomorphismus,Automorphismus etc. sei immer linear --Mathemaduenn 10:41, 18. Aug 2006 (CEST)

In den einzelnen Sätzen steht doch jeweils, dass es ..morhpismen zwischen Vektorräumen sind. Wo soll der Fehler liegen? Wenn jemand das „zwischen Vektorräumen“ mutwillig überliest, ist ihm auch nicht mehr zu helfen. --Squizzz 11:34, 18. Aug 2006 (CEST)

Ich dachte nur das -morphismen zw.Vektorräumen nicht unbedingt lineare Abbildungen sind. Mag sein das ich hier irre viele Grüße --Mathemaduenn 11:50, 18. Aug 2006 (CEST)

Also in Gerd Fischer, Lineare Algebra steht ~ "eine Abbildung zwischen K-Vetorräumen V,W heißt linear (oder K-Homomorphismus), wenn" und dann kommen die zwei / das kombinierte Kriterium. Für mich heißt das ÄQUIVALENZ. Wenn man sich die abstrakt gehaltenen Definitionen bei Homomorphismus genauer anschaut, leuchtet das auch ziemlich ein. Werde das jetzt nochmal in beiden Artikeln schärfen.. --Cycyc 14:02, 20. Sep 2006 (CEST)

Apropos Homomorphismus: Warum fehlt der eigentlich in der Aufzählung?--86.32.47.81 01:30, 14. Jan. 2007 (CET)

Bilder

Also ich finds schade, dass das Diagramm aus der Diksussion nicht auf der Hauptseite ist, ferner fehlt hier die einfachste lineare Abbildung, die Nullpunktsgerade... Außerdem ist zu Stetigkeit so gut wie nichts gesagt. --Cycyc 14:34, 20. Sep 2006 (CEST)

Ein Versuch mit hässlichem xfig Bild:linear.svg ;) weiß auch nicht was er hat...

Der Artikel ist ja auch nicht wirklich fertig. Ergaenze doch einfach was dazu. --P. Birken 14:52, 20. Sep 2006 (CEST)

Ich weiß echt nicht was gegen die Nullpunktsgerade spricht, Gunther --Cycyc 18:50, 26. Sep 2006 (CEST)

Was? Wie? Ich höre meinen Namen?--Gunther 19:00, 26. Sep 2006 (CEST)

Bild und Kern

Wenn ich das in der Schule richtig verstanden habe (wir behandeln das gerade), dann ist die Vektorabbildung dann gegebn, wenn sie reversibel ist und das ist nur der Fall, wenn sie eindeutig ist, d.h., dass jeder Punkt auf einen bestimmten Punkt abgebildet wird. Nun steht beim kern, dass es die Menge aller Punkte ist, die auf den Nullvektor von W abgebildet werden. Das ist doch dann trotzdem nur einer, oder? Es wäre vielleicht ganz gut - wenn das so ist - das deutlich zu machen, für verwirrte Schüler und andere, weil landläufig unter einer Menge ja mehr als eins verstanden wird. Kira

Hallo Kira, bei einer Vektorabbildung muss zwar jeder Vektor eindeutig auf einen bestimmten Vektor abgebildet werden, aber das Ganze muss nicht reversibel sein. Z.B. kann man jeden Vektor auf den Nullvektor abbilden, dann besteht der Kern aus allen Vektoren. Wenn eine lineare Abbildung reversibel (man sagt auch injektiv oder ein Monomorphismus) ist, besteht der Kern allerdings nur aus dem Nullvektor. --HeikoTheissen 17:11, 10. Okt. 2006 (CEST)