Banach-Tarski-Paradoxon

Das Banach-Tarski-Paradoxon ist wohl eine der spektakulärsten und irritierendsten Aussagen der modernen Mathematik. Danach kann man eine Kugel derart zerlegen, dass sich ihre Teile wieder zu zwei lückenlosen Kugeln zusammenfügen lassen, von denen jede den selben Durchmesser hat wie die ursprüngliche. Das Volumen verdoppelt sich, ohne dass anschaulich ersichtlich ist, wie durch diesen Vorgang Volumen aus dem Nichts entstehen können sollte. Dieses Paradoxon demonstriert, dass sich die Repräsentation des Raumes als Punktmenge in der Mathematik in letzter Konsequenz der menschlichen Anschauung entzieht.

Die Auflösung dieses Paradoxons beruht darauf, dass die Kugelteile dermaßen kompliziert geformt sind, dass ihr Volumen nicht mehr definierbar ist. Sie sind in einem gewissen Sinne unendlich filigran und porös bzw. staubwolkenartige Punktmengen. Die mathematische Existenz solcher Mengen ist nicht selbstverständlich: Zum Beweis der Existenz von nicht messbaren Teilmengen des R^d benötigt man das Auswahlaxiom. Messbare Punktmengen hingegen verhalten sich hinsichtlich ihres Volumens additiv.

Der polnische Mathematiker Stefan Banach und sein polnisch-amerikanischer Kollege Alfred Tarski führten den Beweis 1924 und zeigten, dass im Fall der Kugel eine Zerlegung in sechs Teile ausreichend ist. Für diesen Satz existiert jedoch lediglich ein Existenzbeweis und kein konstruktiver. Man kann sogar beweisen, dass es nicht möglich ist, die sechs Teile explizit anzugeben.

In einer allgemeineren Formulierung dieses Satzes können sich Ausgangs- und Endkörper durch einen beliebigen Volumenfaktor unterscheiden und bis auf gewisse Einschränkungen auch beliebige, verschiedene Gestalt besitzen. Die allgemeine Formulierung dieses mathematischen Satzes in Räumen mit drei und mehr Dimensionen lautet:

Sei d $\geq$ 3 und seien X, Y $\subset$ R^d Mengen mit nicht leerem Inneren. Dann gibt es Bewegungen $\beta _{1},\ldots ,\beta _{n}$ und eine disjunkte Zerlegung $X_{1},\dots ,X_{n}$ von X derart, dass Y die disjunkte Vereinigung der Mengen $\beta _{1}(X_{1}),\dots ,\beta _{n}(X_{n})$ ist.

In der Ebene ist dieser Satz nicht gültig. 1990 konnte Miklós Laczkovich jedoch zeigen, dass dieser Satz für Flächen zumindest in ähnlicher Form gilt. Danach sind zwei Flächen, sofern ihr Rand hinreichend glatt ist, ebenfalls zerlegungsgleich, allerdings nur dann, wenn ihre Flächen gleich groß sind. In diesem Sinne ist beispielsweise eine Quadratur des Kreises möglich. Die Anzahl der erforderlichen Teile wurde jedoch von Laczkovich auf etwa 10⁵⁰ geschätzt.

Weblinks

Wie macht man 2 aus 1? – Herleitung mit den Mitteln der Schulmathematik, in html- und pdf-Version.