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Über den weierstraßschen Satz vom Maximum und Minimum

Dieser klassische Satz für stetige reellwertige Funktionen auf Kompakta wird in Topologie und Analysis auf die Tatsache zurückgeführt - vgl. etwa Schubert, S. 62, und Forster, S. 32 - dass das stetige Bild eines Kompaktums stets eine kompakte Teilmenge der reellen Zahlen und damit immer abgeschlossen und beschränkt innerhalb $\mathbb {R}$ ist und dass damit die Bildmenge einer stetigen reellwertigen Funktion zwingend ihr Supremum und genauso ihr Infimum enthalten muss.

Diese Argumentation stellt die Hausdorffeigenschaft, also die Separiertheit von $\mathbb {R}$ in Rechnung, denn aus dieser folgt, dass kompakte Teilmengen von $\mathbb {R}$ notwendig abgeschlossen sind.

Der weierstraßschen Satz lässt sich jedoch unabhängig von allen Separiertheitsbetrachtungen mit Hilfe eines einfachen Widerspruchsbeweises beweisen, wobei sich zeigt, dass dabei die Hausdorffeigenschaft von $\mathbb {R}$ ohne Belang ist und dass auch die meisten der anderen charakteristischen Eigenschaften von $\mathbb {R}$ (wie etwa die Vollständigkeit) zum Beweis nicht benötigt werden.

Vielmehr zeigt es sich, dass der weierstraßschen Satz aus ordnungstheoretischen und logischen Gründen gilt, nämlich im Wesentlichen aufgrund der Tatsache, dass in einer endlichen teilweise geordneten Menge stets ein maximales und ein minimales Element existiert. Damit ergibt sich nämlich die folgende allgemeine Proposition über Maximalstellen, welche sogar allgemeiner oberhalbstetige Abbildung einbezieht.

Proposition über Maximalstellen

Sie lässt sich formulieren wie folgt:

Gegeben seien nichtleere topologische Räume $(X,{\mathcal {O}}_{X})$ und $(Y,{\mathcal {O}}_{Y})$ mit Topologien ${\mathcal {O}}_{X}$ bzw. ${\mathcal {O}}_{Y}$.

$(X,{\mathcal {O}}_{X})$ sei quasikompakt.

Zudem sei $(Y,<)$ eine strikt geordnete Menge und die Ordnungsrelation $<$ sei mit der Topologie ${\mathcal {O}}_{Y}$ verträglich - in dem Sinne, dass alle Ordnungsideale der Gestalt $]\;,y_{0}[=\{y\in Y|y<y_{0}\}$   $(y_{0}\in Y)$ offen in $(Y,{\mathcal {O}}_{Y})$ sein sollen.

Weiter sei $f\colon (X,{\mathcal {O}}_{X})\to (Y,{\mathcal {O}}_{Y},<)$ eine oberhalbstetige Abbildung.

Dann gilt:

(B) Die Bildmenge $f(X)$ hat in der Relativordnung $<_{{\upharpoonright }{f(X)}}$ stets ein maximales Element.

Duale Proposition über Minimalstellen

In dualer Weise gilt:

Gegeben seien nichtleere topologische Räume $(X,{\mathcal {O}}_{X})$ und $(Y,{\mathcal {O}}_{Y})$ mit Topologien ${\mathcal {O}}_{X}$ bzw. ${\mathcal {O}}_{Y}$.

$(X,{\mathcal {O}}_{X})$ sei quasikompakt.

Zudem sei $(Y,<)$ eine strikt geordnete Menge und die Ordnungsrelation $<$ sei mit der Topologie ${\mathcal {O}}_{Y}$ im dualen Sinne verträglich, also so , dass alle Ordnungsfilter der Gestalt $]y_{0}\;,[=\{y\in Y|y>y_{0}\}$   $(y_{0}\in Y)$ offen in $(Y,{\mathcal {O}}_{Y})$ sein sollen.

Weiter sei $f\colon (X,{\mathcal {O}}_{X})\to (Y,{\mathcal {O}}_{Y},<)$ eine unterhalbstetige Abbildung.

Dann gilt:

(B) Die Bildmenge $f(X)$ hat in der Relativordnung $<_{{\upharpoonright }{f(X)}}$ stets ein minimales Element.

Beweis der Propositionen

Es ist aus Dualitätsgründen ausreichend, von den beiden Propositionen die erstere für den Fall der Maximalstellen von oberhalbstetigen Abbildungen zu beweisen.

Dazu wird die folgendes Annahme (A) zum Widerspruch geführt:

(A) Die Bildmenge $f(X)$ hat bezüglich $<_{{\upharpoonright }{f(X)}}$ kein maximales Element .

Aus (A) ergibt sich dann die folgende Identität :

(I) $X=\bigcup _{x\in X}{f^{-1}(]\;,f(x)[)}$   .

Denn (A) ist gleichbedeutend damit, dass für ein beliebiges $x_{0}\in X$ stets ein $x_{1}\in X$ derart existiert, dass $f(x_{0})<f(x_{1})$ erfüllt ist und damit auch $f(x_{0})\in \;]\;,f(x_{1})[$ und schließlich $x_{0}\in \;f^{-1}(]\;,f(x_{1})[)$   .

Nun ist weiter zu berücksichtigen, dass die vorausgesetzte Oberhalbstetigkeit von $f$ bedeutet, dass die Mengen in der Vereinigungsmenge auf der rechten Seite von (I) durchweg offen in $(X,{\mathcal {O}}_{X})$ sind.

In Verbindung mit der Quasikompaktheit von $(X,{\mathcal {O}}_{X})$ ergibt sich dann mit der Borel-Lebesgueschen Überdeckungseigenschaft, dass sogar schon für eine nichtleere endliche Teilmenge $A\subseteq X$

(II) $X=\bigcup _{a\in A}{f^{-1}(]\;,f(a)[)}$

gültig ist.

Da nun $(f(A),<_{{\upharpoonright }{f(A)}})$ eine endliche geordnete Menge und ebenfalls nichtleer ist, muss darin ein maximales Element, etwa

$f(a_{max})$ für ein $a_{max}\in A$

existieren.

Wegen (II) gibt es jedoch ein $a_{0}\in A$ mit

$a_{max}\in \;{f^{-1}(]\;,f(a_{0})[)}$  .

Das aber bedeutet

$f(a_{max})\in \;]\;,f(a_{0})[$

und daher

$f(a_{max})<f(a_{0})$  .

Letztere Ungleichung ist jedoch mit der Maximalität von $f(a_{max})$ in $(f(A),<_{{\upharpoonright }{f(A)}})$ unvereinbar.

Folglich kann (A) nicht gelten und statt dessen muss (B) wahr sein.

Korollar: Der Satz vom Maximum und Minimum

Dieser Satz folgt aus den obigen Propositionen aufgrund dessen, dass einerseits eine stetige reelle Funktion immer gleichzeitig oberhalb- und unterhalbstetig ist und dass andererseits $\mathbb {R}$ linear geordnet ist.

Es gilt demnach:

Für jeden quasikompakten topologischen Raum $(X,{\mathcal {O}}_{X})$und jede stetige reelle Funktion $f\colon (X,{\mathcal {O}}_{X})\to \mathbb {R}$ werden auf der Bildmenge $f(X)$ in der von den reellen Zahlen induzierten Relativordnung $<_{{\upharpoonright }{f(X)}}$ stets Maximum und Minimum angenommen.

Historie und Gewichtung des Resultats

Gemäß einem Papier von S. P. Franklin aus dem Jahre 1965 treten die beiden obigen Propositionen auch schon in der 1948er Ausgabe der Lattice Theory des amerikanischen Mathematikers Garrett Birkhoff auf. Franklin spricht hier vom theorem of Birkhoff. Wie Franklin zeigt, können die Aussagen beider Propositionen als charakteristisch für quasikompakte Räume betrachtet werden.

Zum Hintergrund: Ein allgemeiner Satz

Oben implizit mitbeweisen wurde der folgende allgemeine Satz:

Gegeben seien nichtleere Mengen $T$, $X$ und $Y$.

Weiter sei $T\subseteq X$ und zudem sei $(Y,\leq )$ eine teilweise geordnete Menge und dazu gegeben sei eine Abbildung $f\colon X\to Y$.

Dann gilt:

Hat $X$ die Darstellung

$X=\bigcup _{t\in T}{f^{-1}(]\;,f(t)[)}$

so ist $T$ – und damit auch $X$! – unendlich.

Folgerung: Ein Kriterium für unendliche Mengen

Gegeben sei eine nichtleere Menge $X$.

Dann gilt:

$X$ ist unendlich dann und nur dann, wenn es eine Teilmenge $T\subseteq X$ gibt sowie eine teilweise geordnete Menge $(Y,\leq )$ und weiter eine Abbildung $f\colon X\to Y$ derart, dass $X$ die Darstellung

$X=\bigcup _{t\in T}{f^{-1}(]\;,f(t)[)}$

hat.

Beweis des Kriteriums

Es ist wegen des letzten Satzes nur noch zu zeigen, dass es im Falle, dass $X$ eine unendliche Menge ist, eine Darstellung der genannten Art gibt.

Dazu kann man als gegeben annehmen, dass es in $X$ eine injektive unendliche Folge $\left(x_{i}\right)_{i=0,1,2,\ldots }$ gibt.

Nun setzt man

$S:=\{x_{i}:i=0,1,2,\ldots \}$

und

$T:=S\setminus \{x_{0}\}$

und

$Y:=\mathbb {N} _{0}$ .

Die Abbildung

$f\colon X\to Y$

wird definiert wie folgt:

Für $x\in X$ sei

$f(x):={\begin{cases}\ &0&&\mathrm {\;\;f{\ddot {u}}r\;\;} x\in X\setminus S,\\\ &n&&\mathrm {\;\;f{\ddot {u}}r\;\;} x\in S\mathrm {\;\;mit\;\;} x=x_{n}\,(n\in \mathbb {N} _{0}).\\\end{cases}}$ .

Damit ergibt sich

$f(S)=\mathbb {N} _{0}$

und

$f(T)=\mathbb {N}$

und

$f^{-1}(\{0\})=X\setminus S\cup \{x_{0}\}$

und damit

$X=\bigcup _{m\in \mathbb {N} _{0}}{f^{-1}(\{m\})}=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }{f^{-1}(\{0,1,2,\ldots ,n-1\})}=\bigcup _{t\in T}{f^{-1}(]\;,f(t)[)}$

und damit die Behauptung.

Hintergrundliteratur

• Otto Forster: Analysis 2 (= Grundkurs Mathematik). 8., aktualisierte Auflage. Vieweg+Teubner, Wiesbaden 2008, ISBN 978-3-8348-9541-7 (zbMATH Open). 
• Bernhard Ganter: Diskrete Mathematik: Geordnete Mengen (= Springer-Lehrbuch). Springer Spektrum, Berlin - Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-37499-9 (zbMATH Open). 
• Egbert Harzheim: Ordered Sets (= Advances in Mathematics. Band 7). Springer Verlag, New York, NY 2005, ISBN 0-387-24219-8 (zbMATH Open). 
• Horst Schubert: Topologie. Eine Einführung (= Mathematische Leitfäden). 4. Auflage. B. G. Teubner Verlag, Stuttgart 1975, ISBN 3-519-12200-6 (zbMATH Open). 
• S. P. Franklin: Compactness and semi-continuity. In: Israel Journal of Mathematics. Band 3, 1965, S. 13–14 (zbMATH Open). 

Ophiuride

Es geht gemäß Besprechung um das reelle Polynom $p(x,y)=x^{3}+(y^{2}-ay)x-by^{2}$ und um die Gleichung $p(x,y)=0$.

Literatur

(1)

• Bodo von Pape: Diedrich Uhlhorn (1764–1837) und die großen Probleme der Antike. In: Mitteilungen der Mathematischen Gesellschaft in Hamburg. Band 37, 2017, S. 29–59 (zbMATH Open). 

This is an important contribution to the classical Greek contruction problems of cube duplication and angle trisection, for it not only offers a scholarly survey of the solutions proposed in antiquity, but it also resurrects from oblivion a character who has never been the subject of narratives on the history of mathematics, Diedrich Uhlhorn (1764–1837). The self-taught Uhlhorn is better known as the inventor of machines for minting coins and of the speedometer, among others. The focus of this study is on D. Uhlhorn’s only mathematical work [Entdeckungen in der höhern Geometrie. Theoretisch und practisch abgehandelt. Oldenburg: In commission in der Schulze’schen Buchhandlung (1809)]. In it, he introduces constructions with certain mechanical curves, most important of which is the ophiuride, which he thought having discovered, and which is mentioned by W. R. Knorr in his [The ancient trandition of geometric problems. Boston-Basel-Stuttgart: Birkhäuser (1986; Zbl 0588.01002)], attributing it to Eudoxus. Its equation is x3+(y2−ay)x−by2=0. Reviewer: Victor V. Pambuccian (Yerevan) MSC: 01A55 History of mathematics in the 19th century 01A20 History of Greek and Roman mathematics 51-03 History of geometry Keywords: cube duplication; angle trisection; ophiuride Biographic References: Uhlhorn, Diedrich

(2)

• Marko Razpet, Nada Razpet: Ophiuride. (Slowenisch). In: Obzornik za Matematiko in Fiziko. Band 69, 2022, S. 1–14 (zbMATH Open). 

Summary: We introduce the ophiuride, a lesser-known planar curve, first discussed by D. Uhlhorn at the beginning of the 19th century. An ophiuride is a set of points obtained by a simple geometric procedure, but it is also a pedal curve of a parabola, the inverse of a hyperbola, and the cissoid of a line and a circle. We will show that the ophiuride can be used to solve some cubic equations. MSC: 51M15 Geometric constructions in real or complex geometry

Kompaktheit metrischer Räume

...

Für einen metrischen Raum $X$ sind die der folgenden Aussagen gleichwertig:

(a) $X$ ist vollständig und totalbeschränkt.

(b) Jede offene Überdeckung von $X$ enthält eine endliche Teilüberdeckung.

(c) Jede in $X$ gelegene Folge enthält eine konvergente Teilfolge.

(d) Jede unendliche Teilmenge von $X$ besitzt mindestens einen Häufungspunkt.

(e) Jede stetige reellwertige Funktion $f\colon X\to \mathbb {R}$ ist beschränkt.

(f) Jede abgeschlossene diskrete Teilmenge von $X$ ist endlich.

Dies bedeutet nicht zuletzt, dass für einen metrischen Raum die Eigenschaften Kompaktheit, Folgenkompaktheit und Abzählbare Kompaktheit stets gleichwertig sind.

Literatur

• Lutz Führer: Allgemeine Topologie mit Anwendungen. Vieweg, Braunschweig 1977, ISBN 3-528-03059-3, S. 94 ff. 
• Horst Schubert: Topologie. Eine Einführung. 4. Auflage. B. G. Teubner Verlag, Stuttgart 1975, ISBN 3-519-12200-6, S. 59 ff. 
• Bertrand Hauchecorne: La théorème de Borel-Lebesgue. In: Quadrature. Band 97, 2015, S. 9–11 ((zbMATH Open)). 

Grundmenge

Literatur

• Thomas Ihringer (Hrsg.): Allgemeine Algebra (= Teubner Studienbücher: Mathematik). B. G. Teubner, Stuttgart 1988, ISBN 3-519-02083-1. 
• Fritz Reinhardt, Heinrich Soeder (Hrsg.): dtv-Atlas zur Mathematik. Tafeln und Texte. Band 1: Grundlagen Algebra und Geometrie. 8. Auflage. Deutscher Taschenbuch Verlag, München 1990, ISBN 3-423-03007-0. 
• Fachredaktion des Bibliographischen Instituts (Hrsg.): Duden Rechnen und Mathematik: Das Lexikon für Schule und Praxis. Bearbeitet von Prof. Dr. Harald Scheid. 4. Auflage. Bibliographisches Institut, Mannheim, Wien, Zürich 1985. 

Jürgen Flachsmeyer

Aus zbMATH Open:

Flachsmeyer, Jürgen

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9 Mathematische Nachrichten 4 Wissenschaftliche Zeitschrift der Ernst-Moritz-Arndt-Universität Greifswald. Mathematisch-Naturwissen\-schaftliche Reihe 3 Mathematische Semesterberichte 3 Archiv der Mathematik 3 Mathematische Zeitschrift all Fields

39 General topology (54-XX) 20 Measure and integration (28-XX) 14 General and overarching topics; collections (00-XX) 13 Functional analysis (46-XX) 11 Order, lattices, ordered algebraic structures (06-XX)

Auswahlsätze

Flachsmeyer, Jürgen Merkwürdiges zur jungen Geschichte der Geometrie und Topologie: Die Auswahlsätze von Blaschke, Hausdorff und Hadwiger. (German) Zbl 0562.01008 Wiss. Z. Ernst-Moritz-Arndt-Univ. Greifsw., Math.-Naturwiss. Reihe 33, 17-18 (1984).

author notes that the known selection theorems of W. Blaschke [Kreis und Kugel, Leipzig 1916] and H. Hadwiger [Ein Auswahlsatz für abgeschlossene Punktmengen, Port. Math. 8, 13-15 (1949; Zbl 0035.152)] are special cases of the selection theorem of Hausdorff and he wonders why geometers do not take notice of the work of topologists even though Hausdorff and Blaschke were together at Greifswald in 1913 and Blaschke drew the illustrations for Hausdorff’s ”Grundzüge”. {The author’s conclusions have to be modified somewhat. He is correct regarding Hadwiger and modern textbooks, see Valentine p. 37, but Hausdorff’s theorem in the 1914 Grundzüge der Mengenlehre is barely recognizable on p. 294; the theorem got its convenient and clear form only in the Mengenlehre of 1927, p. 150, 12 years after Blaschke’s announcement.} Reviewer: H.Guggenheimer

Schubert - Frege

Literatur

---

Frege, G. Ueber die Zahlen des Herrn H. Schubert. (German) JFM 31.0166.01 Jena: H. Pohle. 32 S. 8∘ (1899). Die Schrift übt eine sehr scharfe, in ironischer Form gehaltene Kritik an der Darstellung, die H. Schubert in dem ersten Hefte der Encyklopädie von den Grundlagen der Arithmetik, insbesondere der Entstehung des Zahlbegriffs giebt. Reviewer: Faerber, Dr. (Berlin)

---

Frege, Gottlob Kienzler, Wolfgang (ed.) Two writings on arithmetic. Function and concept. On the numbers of Mr. H. Schubert. Nachdruck der Ausgaben 1891 und 1899, H. Pohle. (Zwei Schriften zur Arithmetik. Function und Begriff. Über die Zahlen des Herrn H. Schubert. Herausgegeben von Wolfgang Kienzler.) (German) Zbl 0916.01026 Hildesheim: Georg Olms. 96 S. (1999). This edition reprints G. Frege’s monographic essays “Funktion und Begriff” [Jena: Pohle (1891; JFM 23.0053.01); Russian translation: Semiotika Inf. 14, 159–183 (1980; Zbl 0446.03004); English translation in M. Beaney (ed.), The Frege Reader, Blackwell, Oxford, 130–148 (1997)] and “Über die Zahlen des Herrn H. Schubert” [Jena: Pohle (1899, JFM 31.0166.01)]. Besides the editor’s postscript additional documents are given in the appendix: Concerning the second essay, a review which was published in the “Rev. de Metaphysique et de Morale” [vol. 8, supplément Mars, 4–5 (1900)] in French and in German translation, concerning the first essay, a report of two lines of Frege’s lecture on the topic given to the Medizinisch-Naturwissenschaftliche Gesellschaft zu Jena in January 1891, and a short review printed in the Deutsche Literaturzeitung [12, col. 1358 (1891)]. These latter documents are commented on by U. Dathe. The essay “Funktion und Begriff” marks the conceptual change between Frege’s “Grundlagen der Arithmetik” [Jena: Pohle (1884)] and the “Grundgesetze der Arithmetik” [vol. I, Jena: Pohle (1893)]. Frege distinguishes between referring to signs and referring to the designators of signs. He introduces the distinction between “Sinn” (sense) and “Bedeutung” (meaning; on the difficulties to translate this term see Beaney’s introduction to the “Frege Reader” (loc. cit.)). He applies the concept of function to the field of logic by defining concepts as functions, and he introduces value ranges of functions. In “Über die Zahlen des Herrn H. Schubert” Frege polemically rejects Schubert’s essay which opens the “Encyclopaedie der mathematischen Wissenschaften” [vol. 1, pt. 1, Leipzig: Teubner (1898)]. His polemic is especially directed against the introduction of the number concept via abstraction from the counting procedure (today standard). The editor’s postscript especially concerns the polemical essay. It is astonishing that he (like other commentators) overlooked that the “numbers of Mr. H. Schubert” are in fact the “numbers of Mr. E. Schröder” as introduced in the latter’s “Lehrbuch der Arithmetik und Algebra für Lehrer und Studierende” [Leipzig: Teubner (1873; JFM 05.0605.01)]. Schubert explicitly acknowledged Schröder as the source for his way of introducing the number concept, he gives him credit for the distinction between units and “ones” (“Einheiten” and “Einer”) and concerning the introduction of the four fundamental operations in arithmetic. Checking Schröder’s “Lehrbuch” shows that Schubert’s presentation was obviously modeled on this book. This might explain Frege’s anger and the inadequate heaviness of his reaction. By hitting Schubert he wanted to hurt Schröder, the leading algebraist of logic and his rival in the logical scene of Germany. Reviewer: Volker Peckhaus (Erlangen)

Satz von Grosswald-Schnitzer

Emil Grosswald (1912–1989)

Literatur

• Emil Grosswald, Franz Josef Schnitzer: A class of modified ζ and L-functions. In: Pacific Journal of Mathematics. Band 74, 1978, S. 357–364 (-->zbMATH Open). 
• Helmut Müller: Über eine Klasse modifizierter ζ- und L-Funktionen. In: Archiv der Mathematik. Band 36, 1981, S. 157–161 (-->zbMATH Open). 

Parakompakter Raum

Satz von A. H. Stone: Alle metrischen Räume und ebenso alle regulären, hausdorffschen Lindelöfräume sind parakompakt.

• Jean Dieudonné: Une généralisation des espaces compacts. In: Journal de Mathématiques Pures et Appliquées. Neuvième Série. Band 23, 1944, S. 65–76 (Eintrag 0060.39508 (zbMATH Open)). 
• A. H. Stone: Paracompactness and product spaces. In: Bulletin of the American Mathematical Society. Band 54, 1948, S. 977–982 (Eintrag 0032.31403 (zbMATH Open)). 

Mischungsrechnung

Mischungsrechnung ist ein mathematischer Begriff der elementaren Algebra, der im Übergangsfeld zwischen Bruchrechnung und Prozentrechnung angesiedelt ist. Die Mischungsrechnung beruht wesentlich auf einer allgemeinen mathematischen Formel, mit der für einen gegebenen Stoff dessen prozentualer Anteil an einem Stoffgemisch in Form eines gewichteten arithmetischen Mittels berechnet werden kann.

.....

Verwandte Formel: Berechnung Durchschnittspreis

Für die Berechnung eines Durchschnittspreises gibt es eine ganz gleichartige Formel. Diese betrifft eine Ware, die in $n$ unterschiedlichen Mengeneinheiten $M_{1},M_{2},\ldots ,M_{n}$ eingekauft wird, wobei $P_{1},P_{2},\ldots ,P_{n}$ die $n$ zugehörigen (und in der Regel unterschiedlichen) Preise je Mengeneinheit sein sollen.

Dann gilt für den Durchschnittspreis $P$ die folgende Formel:

$P={\frac {M_{1}P_{1}+M_{2}P_{2}+\cdots +M_{n}P_{n}}{M_{1}+M_{2}+\cdots +M_{n}}}$  .

Quellen

• Fachredaktion des Bibliographischen Instituts (Hrsg.): Duden Rechnen und Mathematik: Das Lexikon für Schule und Praxis. Bearbeitet von Prof. Dr. Harald Scheid. 4. Auflage. Bibliographisches Institut, Mannheim, Wien, Zürich 1985, S. 421–422. 

Siehe auch

• Mischungskreuz

KKategorie:Elementare Algebra]]

Ludwig Bieberbach

Er war der Sohn des damaligen Direktors der ehemaligen Landesirrenanstalt Heppenheim (Bergstraße)...

... Er wurde im Jahre 1910 an der Georg-August-Universität Göttingen bei Felix Klein promoviert ...

... Bieberbach war Betreuer oder Mitbetreuer der Promotionen von mehr als 30 Doktoranden. Dazu gehörten auch die Mathematiker Hubert Cremer, Werner Fenchel, Helmut Grunsky, Hans Pietsch, Karl Reinhardt, Kurt Schröder und Wilhelm Süss.

... Bieberbach war ein aktiver Nationalsozialist.

... Von der nach ihm benannten Vermutung ging eine stimulierende Wirkung auf die Entwicklung der Funktionstheorie aus.

Siehe auch

• Bieberbachsche Ungleichung

Literatur

• Siegfried Gottwald, Hans-Joachim Ilgauds, Karl-Heinz Schlote (Hrsg.): Lexikon bedeutender Mathematiker. Verlag Harri Deutsch, Thun, Frankfurt am Main 1990, ISBN 3-8171-1164-9, S. 57 (Eintrag 0711.01001 in der Datenbank zbMATH Open). 

Poissonsche Formel

Hinweise

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Literatur

• Henri Cartan: Elementare Theorie der Analytischen Funktionen einer oder mehrerer Komplexen Veränderlichen. (Deutsche Übersetzung: Dr. Volkmar Lindenau) (= BI-Hochschultaschenbücher. Band 112). Bibliographisches Institut, Mannheim, Wien, Zürich 1966, ISBN 3-411-00112-7, S. 130 ff. (Eintrag 0159.09902 (zbMATH Open)). 

Satz von Gauß (Axonometrie)

Auch Fundamentalsatz der Axonometrie!

Formulierung

Der Satz lässt sich so angeben:

Sind im dreidimensionalen euklidischen Raum $\mathbb {R} ^{3}$ eine Ebene $\mathrm {E} \subset \mathbb {R} ^{3}$ und dazu vier Punkte $O,X,Y,Z\in \mathrm {E}$ gegeben, welche man als Normalprojektionen des Nullpunktes und der drei Einheitspunkte des $\mathbb {R} ^{3}$ versteht, und fasst man die drei Vektoren ${\overrightarrow {OX}},{\overrightarrow {OY}},{\overrightarrow {OZ}}$ als komplexe Zahlen $u,v,w$ auf, so gilt;

(i)$u^{2}+v^{2}+w^{2}=0$

(ii)$|u|^{2}+|v|^{2}+|w|^{2}=2$

Literatur

• Michael Eastwood, Roger Penrose: Drawing with complex numbers. In: The Mathematical Intelligencer. Band 22, 2000, S. 8–13 (Eintrag 1052.51505 in der Datenbank zbMATH Open). 

• Eduard Stiefel: Lehrbuch der darstellenden Geometrie (= Lehrbücher und Monographien aus dem Gebiete der exakten Wissenschaften. Band 11). 3. Auflage. Birkhäuser Verlag, Basel (u. a.) 1971, ISBN 3-7643-0368-9, S. 50 ff. (Eintrag 50.0383.05 in der Datenbank zbMATH Open). 

Zur regulären Kettenbruchentwicklung der Kreiszahl

Was die Dezimalstellen der Kreiszahl angeht, so scheint es ja - wie man bei Arndt/Haenel nachlesen kann - ziemlich sicher zu sein, dass die Kreiszahl eine normale Zahl ist. Selbst wenn man bislang dafür kein Beweis hat! Und bislang hat man offenbar jede natürliche Zahl unter den Dezimalstellen finden können.

Hier scheint mir die Frage naheliegend, ob es sich so ähnlich verhält bei der regulären Kettenbruchentwicklung (-> Folge A280135 in OEIS) und ich vermute, dass es dazu Publikationen gibt. Leider ist mir bislang keine Arbeit dazu bekannt geworden. ??????

Weierstraßscher Nullstellensatz

Aus dem Zwischenwertsatz ergibt sich unmittelbar ein bekanntes Resultat, das Karl Weierstraß zugerechnet wird und auch als weierstraßscher Nullstellensatz bezeichnet wird. Es besagt folgendes:

Jede reelle Polynomfunktion $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$, deren Grad eine ungerade Zahl ist, besitzt mindestens eine reelle Nullstelle.

Es lässt sich zeigen, dass mit seiner Hilfe lässt sich ein Beweis des Fundamentalsatzes der Algebra führen, der hauptsächlich mit Algebra algebraischen Methoden operiert.

Ramanujansche Kettenbrüche

Der indische Mathematiker Srinivasa Ramanujan spielt in der Geschichte der Kettenbrüche eine ganz eigene Rolle und ihm wird nachgesagt, dass seine Fertigkeiten im Umgang mit Kettenbrüchen unerreicht seien. Wie weit diese Fertigkeiten reichten, zeigte er durch eine Reihe von Kettenbruch–Formeln, deren Schwierigkeitsgrad und Tiefe den bekannten Zahlentheoretiker Godfrey Harold Hardy dazu veranlasste, Ramanujans außerordentlice Begabung nachdrücklich zu würdigen.

Drei Formeln

Nicht zuletzt gab Ramanujan die im folgenden dargestellten drei Formeln an, die alle mit dem (heute so genannten) Rogers-Ramanujan-Kettenbruch zusammenhängen.

Die erste gibt eine Funktionalgleichung, während die zweite und die dritte jeweils sowohl die goldene Zahl als auch die eulersche Zahl als auch die Kreiszahl miteinander verknüpfen.

(I)

Für jede reelle oder komplexe Zahl $x$ mit $|x|<1$ und

$u={\cfrac {x}{1+{\cfrac {x^{5}}{1+{\cfrac {x^{10}}{1+{\cfrac {x^{15}}{1+\cdots }}}}}}}}$

und

$v={\cfrac {x^{\tfrac {1}{5}}}{1+{\cfrac {x}{1+{\cfrac {x^{2}}{1+{\cfrac {x^{3}}{1+\cdots }}}}}}}}$

gilt

$v^{5}=u\cdot {\frac {1-2u+4u^{2}-3u^{3}+u^{4}}{1+3u+4u^{2}+2u^{3}+u^{4}}}$ .

(II)

${\sqrt {\frac {5+{\sqrt {5}}}{2}}}-{\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}={\cfrac {e^{-{\frac {2\pi }{5}}}}{1+{\cfrac {e^{-2\pi }}{1+{\cfrac {e^{-4\pi }}{1+{\cfrac {e^{-6\pi }}{1+\cdots }}}}}}}}$

(III)

${\frac {\sqrt {5}}{1+{\sqrt[{5}]{5^{\frac {3}{4}}\cdot \left({\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}}\right)^{\frac {5}{2}}-1}}}}-{\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}={\cfrac {e^{-{\frac {2\pi {\sqrt {5}}}{5}}}}{1+{\cfrac {e^{-2\pi {\sqrt {5}}}}{1+{\cfrac {e^{-4\pi {\sqrt {5}}}}{1+{\cfrac {e^{-6\pi {\sqrt {5}}}}{1+\cdots }}}}}}}}$

Beweise

Die genannten Formeln tauchen in Ramanujans berühmten Briefen an Hardy unter den dort genannten etwa 120 Resultaten auf. Sie werden – nicht zuletzt von Hardy selbst – zu den extrem schwer zu beweisenden Resultaten Ramanujans gerechnet. Die dazu bislang vorgetragenen Beweise stammen nicht von Ramanujan selbst, sondern von Leonard James Rogers (1862–1933) und George Neville Watson (1886–1965) und späteren Autoren.

Literatur

• George E. Andrews, Bruce C. Berndt, Lisa Jacobsen, Robert L. Lamphere: The continued fractions found in the unorganized portions of Ramanujan’s notebooks. In: Memoirs of the American Mathematical Society. 99, No. 477, 1992 (Eintrag 0758.40001 in der Datenbank zbMATH Open). 
• Jörg Arndt, Christoph Haenel: Π [Pi]. Algorithmen, Computer, Arithmetik. 2., neu bearbeitete und erweiterte Auflage. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg 2000, ISBN 3-540-66258-8 (Eintrag 1092.11502 in der Datenbank zbMATH Open). 
• Heng Huat Chan, Song Heng Chan, Zhi-Guo Liu: The Rogers-Ramanujan continued fraction and a new Eisenstein series identity. In: Journal of Number Theory. Band 129, 2009, S. 1786–1797 (Eintrag 1170.33006 in der Datenbank zbMATH Open). 
• Alice Gee, Mascha Honsbeek: Singular values of the Rogers-Ramanujan continued fraction. In: The Ramanujan Journal. Band 11, 2006, S. 267–284 (Eintrag 1112.11058 in der Datenbank zbMATH Open). 
• Godfrey Harold Hardy: Ramanujan. Twelve lectures on subjects suggested by his life and work. Reprint. Chelsea Publishing Company, New York 1959 (Eintrag 0086.26202 in der Datenbank zbMATH Open). 
• Oskar Perron: Die Lehre von den Kettenbrüchen. Band II: Analytisch-funktionentheoretische Kettenbrüche. Reprografischer Nachdruck der 3., verbesserten und erweiterten Auflage, Stuttgart 1957. B. G. Teubner Verlag, Stuttgart 1977, ISBN 3-519-02022-X (Eintrag 0077.06602 in der Datenbank zbMATH Open). 
• L. J. Rogers: Second memoir on the expansion of certain infinite products. In: Proceedings of the London Mathematical Society. Band 25, 1894, S. 318–343. 
• G. N. Watson: Theorems stated by Ramanujan. VII: Theorems on continued fractions. In: Journal of the London Mathematical Society. Band 4, 1929, S. 39–48 (Eintrag 55.0273.01 in der Datenbank zbMATH Open). 
• G. N. Watson: Theorems stated by Ramanujan. IX: Two continued fractions. In: Journal of the London Mathematical Society. Band 4, 1929, S. 231–237 (Eintrag 55.0274.01 in der Datenbank zbMATH Open). 
• G. N. Watson: Über Eigenschaften des Ramanujanschen Kettenbruches. In: Monatsh. Math. Phys. Band 48, 1939, S. 516–530 (Eintrag 0022.13101 in der Datenbank zbMATH Open). 

Einzelnachweise

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Anmerkungen

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KKKategorie: Zahlentheorie]]

Verwandte Ostrowski-Ungleichung

In der Online–Enzyklopädie MathWorld (s. .u.) wird Alexander Ostrowski unter dem Stichwort Ostrowski's Inequality eine verwandte Integralungleichung zugewiesen, welche ebenfalls die Abschätzung von Produkten gewisser integrierbarer Funktionen behandelt. Sie lässt folgendermassen formulieren:

Sind (wie oben) auf $J={[a,b]}\subset \mathbb {R} \;(a<b)$ zwei Riemann-integrierbare Funktionen $f\;,\;g\;\colon J\to \mathbb {R}$ gegeben und ist dabei $f$ monoton wachsend und zudem $f(b)\leq 0$ ,

so gilt stets die Ungleichung

$\left|\int _{a}^{b}{f(x)g(x)}\,dx\right|\leq |f(a)|\cdot \sup _{t\in J}{\left|\int _{a}^{t}{g(x)}\,dx\right|}$ .

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Ostrowski's Inequality. In: MathWorld (englisch).

Einzelnachweise

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KKKategorie:Analysis]] KKKategorie:Ungleichung]]

Gauß-fabersche Ungleichung

Im mathematischen Gebiet der Analysis ist die Gauß-fabersche Ungleichung (englisch Gauss-Faber’s inequality) eine Integralungleichung, die zurückgeht auf eine Publikation des Mathematikers Georg Faber aus dem Jahre 1922. Darin greift dieser die von Carl Friedrich Gauß zur Methode der kleinsten Quadrate vorgelegten Abhandlungen über die Theoria combinationis observationum erroribus minimis obnoxiae auf und formuliert eine Ungleichung, welche die Abschätzung von uneigentlichen Integralen für gewisse Produkte integrierbarer Funktionen erlaubt.

Fabers Arbeit gab Anlass zu einigen Folgearbeiten, in denen die Ungleichung erweitert und verschärft wurde.

Die Ungleichung

Sie lässt sich angeben wie folgt:

Gegeben seien im Körper der reellen Zahlen das unendliche Intervall $J=[0,\infty [\subset \mathbb {R}$ und darauf eine monoton fallende Funktion

$\Phi \;\colon J\to \mathbb {R}$ .

Hier möge für jede reelle Zahl $p\in J$ das uneigentliches Integral

$K_{p}:={\int _{0}^{\infty }{x^{p}\Phi (x)}\,dx}$

existieren und dabei soll

$K_{0}=1$

sein.

Dann gilt für $p,q\in J$ mit $p>q$ stets die Ungleichung

$\left((p+1)K_{p}\right)^{\frac {1}{p}}\geq \left((q+1)K_{q}\right)^{\frac {1}{q}}$ .

Literatur

• Georg Faber: Bemerkungen zu Sätzen der Gaußschen theoria combinationis observationum. In: Bayerische Akademie der Wissenschaften. Mathematisch-Naturwissenschaftliche Klasse. Sitzungsberichte. 1922, S. 7–21 (Eintrag 48.0288.02 (zbMATH Open) – PDF). 
• Fujiwara Matsusaburō: Über Gauss-Fabersche Ungleichung für Integrale. In: Japanese Journal of Mathematics. Band 2, 1926, S. 197–200 (Eintrag 52.0232.05 (zbMATH Open)). 
• Fujiwara Matsusaburō: On Gauss-Faber’s inequality for integrals. In: Proceedings of the Physico-Mathematical Society of Japan Tokyo, III. Serie. Band 8, 1926, S. 117 (Eintrag 52.0236.08 (zbMATH Open)). 
• Izumi Shin-ichi: Über die Gauß-Fabersche Ungleichung für Integrale. In: Japanese Journal of Mathematics. Band 4, 1927, S. 7–10 (Eintrag 53.0220.01 (zbMATH Open)). 
• Narumi Seimatsu: On a generalized Gauß-Faber’s inequality for integral. In: Japanese Journal of Mathematics. Band 4, 1927, S. 33–39 (Eintrag 53.0220.02 (zbMATH Open)). 
• Anton Börsch, Paul Simon (Hrsg.): Abhandlungen zur Methode der kleinsten Quadrate. In deutscher Sprache herausgegeben von A. Börsch und P. Simon. P. Stankiewicz Buchdruckerei, Berlin 1887, S. 134 ff., 208 ((Digitaldatei)). 

Einzelnachweise

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KKKategorie:Analysis]] KKKategorie:Ungleichung]]

Transzendenz der natürlichen Exponential- und Logarithmusfunktion

........

Insgesamt hat man sogar den folgenden Lehrsatz, der auch als Satz von Hermite–zu Lindemann bekannt ist:

Ist $\kappa$ eine komplexe Zahl $\neq 0$ , so ist stets $\kappa$ selbst oder ${\mathrm {e} }^{\kappa }$ eine transzendente Zahl.

Für $\kappa =1$ erhält man den Satz von Hermite, wonach die eulersche Zahl ${\mathrm {e} }$ transzendent ist, und infolge der eulerschen Formel hat man mit $\kappa =\pi \mathrm {i}$ e erneut den Satz von Lindemann, demzufolge die Kreiszahl $\pi$ ebenfalls transzendent ist.

Siehe auch

• Eric W. Weisstein: Gelfond-Schneider Theorem. In: MathWorld (englisch).
• Eric W. Weisstein: Hermite-Lindemann Theorem. In: MathWorld (englisch).
• Eric W. Weisstein: Lindemann-Weierstrass Theorem. In: MathWorld (englisch).

Verallgemeinerung der Bernoulli-Ungleichung

Für eine reelle Zahl $x>-1\,,\,x\neq 0$ gilt stets:

$(1+x)^{\alpha }{\begin{cases}\ \,>{1+\alpha x}&\mathrm {\;\;{\text{falls}}\;\;} \alpha <0{\;{\text{oder}}\;}\alpha >1,\\\ <{1+\alpha x}&\mathrm {\;\;{\text{falls}}\;\;} 0<\alpha <1\\\end{cases}}$

Literatur

• Christian Blatter: Analysis I (= Heidelberger Taschenbücher. Band 151). Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York 1974, ISBN 3-540-06738-8. 
• Otto Forster: Analysis 1. Differential- und Integralrechnung einer Veränderlichen (= Grundkurs Mathematik). 9., überarbeitete Auflage. Vieweg+Teubner, Wiesbaden 2008, ISBN 978-3-8348-0395-5. 

Ableitung der Heisenberg'schen Unbestimmtheitsrelation nach v. Neumann (Sicherung aus 2013 !! )

Als gegeben wird angenommen:

• Ein Hilbertraum   ${\mathcal {H}}$  , versehen mit dem Skalarprodukt   $\langle \cdot ,\cdot \rangle$   und der dazugehörigen Norm   $\|\cdot \|={\langle \cdot ,\cdot \rangle }^{\frac {1}{2}}$   und mit   $\mathbf {1} _{\mathcal {H}}$   als Identitätsoperator auf   ${\mathcal {H}}\;$;
• Zwei in   ${\mathcal {H}}$   definierte selbstadjungierte lineare Operatoren   ${\hat {A}}\colon {\mathcal {H}}\supset D({\hat {A}})\to {\mathcal {H}}$   und   ${\hat {B}}\colon {\mathcal {H}}\supset D({\hat {B}})\to {\mathcal {H}}$ mit der Eigenschaft $[{\hat {A}},{\hat {B}}]=a\mathbf {1} _{\mathcal {H}}$, wobei für den Skalar $a\in \mathbb {C} \setminus \{0\}$ gilt.

Davon ausgehend lassen sich für   $\psi \in {\mathcal {H}}$   die folgenden Rechenschritte durchführen:

Schritt 1

Es ist:

$\operatorname {Im} {\langle {\hat {A}}\psi ,{\hat {B}}\psi \rangle }={\frac {\langle {\hat {A}}\psi ,{\hat {B}}\psi \rangle -\langle {\hat {B}}\psi ,{\hat {A}}\psi \rangle }{2\mathrm {i} }}$

Also gilt:

$2\cdot \operatorname {Im} {\langle {\hat {A}}\psi ,{\hat {B}}\psi \rangle }=-\mathrm {i} \cdot (\langle {\hat {B}}{\hat {A}}\psi ,\psi \rangle -\langle {\hat {A}}{\hat {B}}\psi ,\psi \rangle )=-\mathrm {i} \cdot \langle {\hat {B}}{\hat {A}}\psi -{\hat {A}}{\hat {B}}\psi ,\psi \rangle$

$=\mathrm {i} \cdot \langle ({\hat {A}}{\hat {B}}-{\hat {B}}{\hat {A}})\psi ,\psi \rangle =\mathrm {i} \cdot \langle [{\hat {A}},{\hat {B}}]\psi ,\psi \rangle =\mathrm {i} \cdot \langle a\mathbf {1} _{\mathcal {H}}\psi ,\psi \rangle$ $=\mathrm {i} \cdot a\cdot \langle \psi ,\psi \rangle$ $=\mathrm {i} \cdot a\cdot {\|\psi \|}^{2}$

Das bedeutet:

${\|\psi \|}^{2}=-{\frac {2\mathrm {i} }{a}}\cdot \operatorname {Im} {\langle {\hat {A}}\psi ,{\hat {B}}\psi \rangle }\leq {\frac {2}{|a|}}\cdot |\langle {\hat {A}}\psi ,{\hat {B}}\psi \rangle |$

Also folgt mit Cauchy-Schwarz:

${\|\psi \|}^{2}\leq {\frac {2}{|a|}}\cdot \|{\hat {A}}\psi \|\cdot \|{\hat {B}}\psi \|$

Schritt 2

Sind nun   $r,s\in \mathbb {C}$   zwei beliebige Skalare, so gilt die Kommutatorgleichung in gleicher Weise auch für   ${\hat {A}}_{r}={\hat {A}}-r\mathbf {1} _{\mathcal {H}}$   und   ${\hat {B}}_{s}={\hat {B}}-s\mathbf {1} _{\mathcal {H}}$  , wie man leicht nachrechnet.

Folglich hat man stets ganz allgemein:

${\|\psi \|}^{2}\leq {\frac {2}{|a|}}\cdot \|{\hat {A}}_{r}\psi \|\cdot \|{\hat {B}}_{s}\psi \|={\frac {2}{|a|}}\cdot \|{\hat {A}}\psi -r\psi \|\cdot \|{\hat {B}}\psi -s\psi \|$

Schritt 3

Infolge des Schrittes 2 erhält man für   $\|\psi \|=1$   ,   $r=\langle {\hat {A}}\psi ,\psi \rangle$   und   $s=\langle {\hat {B}}\psi ,\psi \rangle$   stets

$\|{\hat {A}}\psi -\langle {\hat {A}}\psi ,\psi \rangle \psi \|\cdot \|{\hat {B}}\psi -\langle {\hat {B}}\psi ,\psi \rangle \psi \|\geq {\frac {|a|}{2}}\cdot$

Schritt 4

Für den quantenmechanisch relevanten Fall   $a={\frac {h}{2\pi \mathrm {i} }}$   gewinnt man nun sofort für   $\|\psi \|=1$   die Heisenbergsche Unbestimmtheitsrelation

$\|{\hat {A}}\psi -\langle {\hat {A}}\psi ,\psi \rangle \psi \|\cdot \|{\hat {B}}\psi -\langle {\hat {B}}\psi ,\psi \rangle \psi \|\geq {\frac {h}{4\pi }}\cdot$

Anmerkungen

1. Wie die zweite Gleichung von Schritt 1 zeigt, muss der Skalar   $a$   unter den gegebenen Voraussetzungen stets rein imaginär, also realteilfrei sein.
2. Wegen   $a\neq 0$   ist nach dem Satz von Wintner-Wielandt   ${\mathcal {H}}$   zwangsläufig unendlich-dimensional. Ebenso kann wegen   $a\neq 0$   in Verbindung mit dem Satz von Hellinger-Toeplitz auch nicht   ${\mathcal {H}}=D({\hat {A}})=D({\hat {B}})$   gelten.

LaTeX-Sachen (Test)

Prä- und Postfix

Prefix ${\textstyle f'(x_{0})=\lim _{x\to x_{0}}{\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}}$ postfix

Zentrierter Block

$$\sum _{k=1}^{n}k={\frac {n\cdot (n+1)}{2}}$$

Einrückung

• Eingerückt in itemize:

$\lim _{n\to \infty }s_{n}=\lim _{n\to \infty }\sum _{j=0}^{n}b_{j+1}$