Integration durch Substitution

Die Integration durch Substitution ist in der Mathematik im Rahmen der Analysis ein wichtiges Hilfsmittel, um Stammfunktionen und Integrale zu berechnen. Die Substitutionsregel bildet in der Integralrechnung das Gegenstück zur Kettenregel in der Differentialrechnung. Anschaulich ausgedrückt wird durch die Substitution ein Teil des Integranden ersetzt. Das Ziel liegt dabei darin, das Integral zu vereinfachen und so letztendlich auf ein elementares Integral zurückzuführen. Es ist dabei jedoch zu beachten, immer auch das Differential und eventuell auch die Integrationsgrenzen mitzusubstituieren.

Die Verallgemeinerung der Substitutionsregel auf mehrdimensionale Integrale ist der Transformationssatz.

Substitution eines bestimmten Integrals

Ist $f(x)$ eine integrierbare Funktion und $\varphi (t)$ eine auf dem Intervall $[a,\,b]$ stetig differenzierbare Funktion deren Bildbereich im Definitionsbereich von $f$ liegt, dann gilt

$\int _{a}^{b}f(\varphi (x))\cdot \underbrace {\varphi '(x)} _{={\frac {\mathrm {d} \varphi (x)}{\mathrm {d} x}}}\,\mathrm {d} x=\int _{\varphi (a)}^{\varphi (b)}f(t)\,\mathrm {d} t$

wobei $t=\varphi (x)$, also insbesondere ${\frac {\mathrm {d} t}{\mathrm {d} x}}=\varphi '(x)$.

Diese Formel wird benutzt, um ein Integral in ein anderes Integral zu transformieren, das einfacher zu bestimmen ist. Man sagt $\phi (x)$ substituiert $t$ und umgekehrt.

Beispiele

Beispiel 1

Berechnung des Integrals

$\int _{0}^{a}\sin(2x)\,\mathrm {d} x$

für eine beliebige reelle Zahl $a>0$: Durch die Substitution $t=\phi (x)=2x$ erhalten wir ${\frac {\mathrm {d} t}{\mathrm {d} x}}=2\Leftrightarrow \mathrm {d} t=2\,\mathrm {d} x$ bzw. $\mathrm {d} x={\frac {\mathrm {d} t}{2}}$und

$\int _{0}^{a}\sin(2x)\,\mathrm {d} x={\frac {1}{2}}\int _{0}^{2a}\sin(t)\,\mathrm {d} t={\frac {1}{2}}[-\cos(t)]_{0}^{2a}={\frac {1}{2}}(-\cos(2a)+\cos(0))={\frac {1}{2}}(1-\cos(2a))$.

Beispiel 2

Berechnung des Integrals

$\int _{0}^{2}x\cos(x^{2}+1)\,\mathrm {d} x$:

Durch die Substitution $t=\phi (x)=x^{2}+1$ erhalten wir $\mathrm {d} t=2x\,\mathrm {d} x$ und

$\int _{0}^{2}x\cos(x^{2}+1)\,\mathrm {d} x={\frac {1}{2}}\int _{0}^{2}2x\cos(x^{2}+1)\,\mathrm {d} x={\frac {1}{2}}\int _{1}^{5}\cos(t)\,\mathrm {d} t={\frac {1}{2}}(\sin(5)-\sin(1)).$

Man beachte, dass die untere Grenze des Integrals $x=0$ in $t=0^{2}+1=1$ umgewandelt wurde und die obere Grenze $x=2$ in $t=2^{2}+1=5$.

Beispiel 3

Berechnung des Integrals

$\int _{0}^{1}{\sqrt {1-x^{2}}}\,\mathrm {d} x$

Man substituiert $x=\sin(t)\Leftrightarrow t=\arcsin(x)$, was zu $\mathrm {d} x=\cos(t)\,\mathrm {d} t$ führt und mit ${\sqrt {1-\sin ^{2}(t)}}=\cos(t)$ die letzte Gleichung ergibt:

$\int _{0}^{1}{\sqrt {1-x^{2}}}\,\mathrm {d} x=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\sqrt {1-\sin ^{2}(t)}}\cos(t)\,\mathrm {d} t=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\cos ^{2}(t)\,\mathrm {d} t$

Das Ergebnis kann mit Partieller Integration oder mit der trigonometrischen Formel

$\cos ^{2}(t)=\left(\cos t\right)^{2}={\frac {1+\cos(2t)}{2}}$

und einer weiteren Substitution berechnet werden.

Substitution eines unbestimmten Integrals

Wenn $f(x)$ eine integrierbare Funktion ist und $\varphi (t)$ eine stetig differenzierbare und streng monotone Funktion, deren Wertebereich im Definitionsbereich von $f$ ist, dann gilt

$\int f(x)\,\mathrm {d} x=\int f(\varphi (t))\varphi '(t)\,\mathrm {d} t$

Nachdem man eine Stammfunktion der substituierten Funktion bestimmt hat, macht man die Substitution rückgängig und erhält eine Stammfunktion der ursprünglichen Funktion.

Beispiele

Beispiel 1

Mit der Substitution $x=t-1$, $\mathrm {d} x=\mathrm {d} t$ erhält man

$\int {\frac {1}{x^{2}+2x+2}}\,\mathrm {d} x=\int {\frac {1}{1+t^{2}}}\,\mathrm {d} t=\arctan t+C=\arctan(x+1)+Cbzw.-arccot(x+1)$

Beispiel 2

Mit der Substitution $t=x^{2}$, $\mathrm {d} t=2x\,\mathrm {d} x$ erhält man

$\int x\,\cos(x^{2})\,\mathrm {d} x={\frac {1}{2}}\int 2x\cos(x^{2})\,\mathrm {d} x={\frac {1}{2}}\int \cos(t)\,\mathrm {d} t={\frac {1}{2}}(\sin(t)+C')={\frac {1}{2}}\sin(x^{2})+C$

Man beachte, dass die Substitution nur für $x\geq 0$ bzw. nur für $x\leq 0$ streng monoton ist.

Spezialfälle der Substitution

Logarithmische Integration

Integrale mit der speziellen Form Zähler des Integranden ist Ableitung des Nenners können sehr einfach mit Hilfe der logarithmischen Integration gelöst werden, was einen Spezialfall der Substitutionsmethode darstellt:

$\int {\frac {f'(x)}{f(x)}}\mathrm {d} x=\ln |f(x)|+C\quad \left(\forall f(x)\neq 0\right)$

Lineare Substitution

Integrale mit linearen Verkettungen können wie folgt berechnet werden:

$\int f(mx+n)\,\mathrm {d} x={\frac {1}{m}}F(mx+n)+C\qquad \left(\forall ~m\neq 0\right)$

Für das bestimmte Integral gilt entsprechend

$\int _{a}^{b}f(mx+n)\,\mathrm {d} x={\frac {1}{m}}\int _{ma+n}^{mb+n}f(u)\,\mathrm {d} u\qquad \left(\forall ~m\neq 0\right)$

Weblinks

• Einfache Erklärung/Beispiele für die Substitutionsregel