Lemma von Fatou

Das Lemma von Fatou (nach Pierre Fatou) erlaubt in der Mathematik, das Lebesgue-Integral des Limes inferior einer Funktionenfolge durch den Limes inferior der Folge der zugehörigen Lebesgue-Integrale nach oben abzuschätzen. Es liefert damit eine Aussage über die Vertauschbarkeit von Grenzwertprozessen.

Mathematische Formulierung

Sei $(S,\Sigma ,\mu )$ ein Maßraum. Für jede Folge $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ nichtnegativer, messbarer Funktionen$f_{n}:S\to \mathbb {R} \cup \{\infty \}$ gilt

$\int _{S}\liminf _{n\rightarrow \infty }f_{n}\ \mathrm {d} \mu \leq \liminf _{n\rightarrow \infty }\int _{S}f_{n}\ \mathrm {d} \mu ,$

wobei auf der linken Seite der Limes inferior der Folge $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ punktweise zu verstehen ist.

Beispiele für strikte Ungleichung

Der Grundraum $S$ sein jeweils versehen mit der Borelschen σ-Algebra und dem Lebesgue-Maß.

• Beispiel für einen Wahrscheinlichkeitsraum: Sei $S=[0,1]$ das Einheitsintervall. Definiere $f_{n}(x)=n1_{(0,1/n)}(x)$ für alle $n\in \mathbb {N}$ und $x\in S$, wobei $1_{(0,1/n)}$ die Indikatorfunktion des Intervalls $(0,1/n)$ bezeichne.
• Beispiel mit gleichmäßiger Konvergenz: Sei $S$ die Menge der reellen Zahlen. Definiere $f_{n}(x)={\frac {1}{n}}1_{[0,n]}(x)$ für alle $n\in \mathbb {N}$ und $x\in S$.

Diese Folgen $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ konvergieren auf $S$ punktweise (bzw. gleichmäßig) gegen die Nullfunktion (mit Integral null), jedes $f_{n}$ hat aber Integral eins.

Siehe auch

• Satz von der majorisierten Konvergenz
• Satz von der monotonen Konvergenz