Tautologie (Logik)

Eine Tautologie (griechisch ταυτολογία − Dasselbe-Sagen), auch Verum (lateinisch verum − das Wahre) genannt, ist in der zweiwertigen, klassischen Logik eine Aussage, die unabhängig davon, welche Wahrheitswerte man den in ihr vorkommenden atomaren Aussagen bzw. Aussagevariablen zuordnet, immer wahr ist.

In der Sprechweise der Kripke-Semantik der Modallogik würde man sagen: Eine Tautologie ist eine Aussage, die in jeder möglichen Welt wahr ist.

Erklärung

Eine Tautologie ist zum Beispiel die Disjunktion „Es regnet, oder es regnet nicht“: Unabhängig davon, ob die in ihr vorkommende Aussage „Es regnet“ wahr ist oder nicht, ist die ganze Aussage wahr: Ist „Es regnet“ wahr, dann ist „Es regnet, oder es regnet nicht“ wahr, weil der linke Teilsatz der Disjunktion wahr ist. Ist „Es regnet“ aber falsch, dann ist damit „Es regnet nicht“ wahr. Dies wiederum ist aber der rechte Teilsatz der Disjunktion, sodass der ganze Satz auch in diesem Fall wahr ist.

Ist eine Aussage eine Tautologie, dann sagt man auch, sie sei allgemeingültig. In formaler Schreibweise drückt man die Tatsache, dass eine Aussage $\varphi$ eine Tautologie ist, folgendermaßen aus:

$\models \varphi$

Das Konzept der Tautologie ist ein semantisches Konzept, also aus der Bedeutung einer Aussage definiert. Es muss klar unterschieden werden vom syntaktischen Konzept Theorem: Eine Aussage heißt Theorem, wenn sie innerhalb eines logischen Kalküls mittels der Axiome und Schlussregeln dieses Kalküls herleitbar ist.

Im Allgemeinen ist man beim Aufstellen eines Kalküls für logische Zwecke darum bemüht, ihn so zu formulieren, dass die in ihm ableitbaren Theoreme auch wirklich Tautologien sind. In diesem Fall spricht man von einem korrekten Kalkül. Ist ein Kalkül so konstruiert, dass sich in ihm alle Tautologien ableiten lassen, dann nennt man ihn vollständig. Für die klassische Aussagenlogik ist es möglich, Kalküle anzugeben, die sowohl korrekt als auch vollständig sind; bei mächtigeren logischen Systemen ist das aber nicht der Fall, wie der Gödelsche Unvollständigkeitssatz aussagt.

In mehrwertigen Logiken, also in nichtklassischen Logiken, die durch die Aufgabe des Prinzips der Zweiwertigkeit entstehen, verliert der Tautologiebegriff seine − vermeintliche oder tatsächliche − umgangssprachliche Natürlichkeit und muss neu definiert werden.

Eine Möglichkeit, den Tautologiebegriff in die mehrwertige Logik zu übernehmen, besteht darin, aus den Wahrheitswerten (im mehrwertigen Fall besser: Pseudowahrheitswerten oder Quasiwahrheitswerten) einen oder mehrere herauszugreifen und ihnen besondere Bedeutung zuzumessen. Diese herausgegriffenen Pseudowahrheitswerte werden designierte Pseudowahrheitswerte genannt. Man definiert, dass all jene Aussagen Tautologien sind, die für jede Bewertung der in ihnen vorkommenden Atome einen designierten Wahrheitswert liefern. Bei dieser Lösung bleibt der Tautologiebegriff selber zweiwertig, d. h., eine Aussage ist entweder eine Tautologie, oder sie ist keine.

In traditioneller philosophischer Terminologie sind Tautologien im logischen Sinn eine Unterklasse der analytisch wahren Sätze, die wahr sind nur aufgrund der in ihnen auftretenden Ausdrücke.

Beispiele

Einige Beispiele aus der klassischen, zweiwertigen Aussagenlogik:

Zur einfachen Verdeutlichung einer Tautologie gibt es auch eine amüsante Bauernregel: "Kräht der Hahn um 12 Uhr auf dem Mist, ändert sich das Wetter oder es bleibt wie es ist". Diese Aussage ist in jedem Fall richtig. Dies ist die Art, wie Tautologien strukturiert sind.

• Für jede Aussage A ist "Wenn A, dann A" eine Tautologie.

In Zeichen: $\models A\rightarrow A$

• Für jede Aussage A ist "A oder nicht A" eine Tautologie, da die Aussage A immer entweder wahr oder falsch ist.

In Zeichen: $\models A\lor \neg A$

Beispiel: P V ¬P (gesprochen: P oder nicht P)

P ist ein beliebiger logischer Ausdruck, der die Wahrheitswerte WAHR (W) oder FALSCH (F) annehmen kann.

Beweis:

P	¬P	P V ¬P
W	F	W
F	W	W

• Für jede Aussage A, B ist "A ist eine hinreichende Bedingung für B, oder B ist eine hinreichende Bedingung für A" eine Tautologie.

In Zeichen: $\models (A\rightarrow B)\lor (B\rightarrow A)$

• Für alle Aussagen A, B, C ist "Wenn unter der Voraussetzung, dass A der Fall ist, B eine hinreichende Bedingung für C ist, dann ist die Tatsache, dass A eine hinreichende Bedingung für B ist, ausreichend dafür, dass A eine hinreichende Bedingung für C ist" eine Tautologie.

In Zeichen: $\models (A\rightarrow (B\rightarrow C))\rightarrow ((A\rightarrow B)\rightarrow (A\rightarrow C))$

Diese Aussagen gelten unabhängig davon, ob A, B und C selbst wahr ist oder nicht.

• In der Programmierung häufig falsch anzutreffen: WENN (varText $\neq$ "Hallo") ODER (varText $\neq$ "Guten Tag") DANN ...; wird für alle Wahrheitsmöglichkeiten den Wert WAHR liefern. Eine solche Aussage wird im täglichen Sprachgebrauch häufig mit einem oder gesprochen, gemeint ist aber das logische und.

Siehe auch

Theorem, Kontradiktion, erfüllbare Aussage, Schlussregel, Zirkelschluss, Tautologie (Sprache), Allgemeingültigkeit, Antinomie

Weblinks

• Webformular zur (zweiwertigen) Tautologieprüfung

Literatur

• Kreiser, Lothar; Gottwald, Siegfried; Stelzner, Werner (Hge.): Nichtklassische Logik. Eine Einführung, Berlin: Akademie ²1990