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Allgemeiner Fall
Ist
β
≠
0
{\displaystyle \beta \neq 0}
w
,
y
,
z
{\displaystyle w,y,z}
u
4
+
α
u
2
+
β
u
+
γ
=
(
u
2
+
α
+
y
)
2
−
(
w
u
−
z
)
2
=
(
u
2
+
w
u
−
z
+
α
+
y
(
u
2
−
w
u
+
z
+
α
+
y
)
{\displaystyle {\begin{array}{rl}u^{4}+\alpha u^{2}+\beta u+\gamma &=(u^{2}+\alpha +y)^{2}-(w\,u-z)^{2}\\&=(u^{2}+w\,u-z+\alpha +y\,(u^{2}-w\,u+z+\alpha +y)\end{array}}}
??? Durch Vergleich mit
u
4
+
α
u
2
+
β
u
+
γ
=
(
u
2
+
α
+
y
)
2
−
[
(
α
+
2
y
)
u
2
−
β
u
+
(
(
α
+
y
)
2
−
γ
)
]
{\displaystyle u^{4}+\alpha \,u^{2}+\beta \,u+\gamma =(u^{2}+\alpha +y)^{2}-[(\alpha +2y)\,u^{2}-\beta \,u+((\alpha +y)^{2}-\gamma )]}
Rechte Seite:
(
u
2
+
α
+
y
)
2
−
[
(
α
+
2
y
)
u
2
−
β
u
+
(
(
α
+
y
)
2
−
γ
)
]
{\displaystyle (u^{2}+\alpha +y)^{2}-[(\alpha +2y)\,u^{2}-\beta \,u+((\alpha +y)^{2}-\gamma )]}
=
u
4
+
α
2
+
y
2
+
2
u
2
α
+
2
u
2
y
+
2
α
y
−
[
(
α
+
2
y
)
u
2
−
β
u
+
(
(
α
+
y
)
2
−
γ
)
]
{\displaystyle =u^{4}+\alpha ^{2}+y^{2}+2u^{2}\alpha +2u^{2}y+2\alpha y-[(\alpha +2y)\,u^{2}-\beta \,u+((\alpha +y)^{2}-\gamma )]}
=
u
4
+
(
2
α
+
2
y
−
(
α
+
2
y
)
)
u
2
+
β
u
+
(
α
2
+
y
2
+
2
α
y
−
(
(
α
+
y
)
2
−
γ
)
)
{\displaystyle =u^{4}+(2\alpha +2y-(\alpha +2y))u^{2}+\beta u+(\alpha ^{2}+y^{2}+2\alpha y-((\alpha +y)^{2}-\gamma ))}
=
u
4
+
α
u
2
+
β
u
+
γ
{\displaystyle =u^{4}+\alpha u^{2}+\beta u+\gamma }
OK!
(
u
2
+
α
+
y
)
2
−
(
w
u
−
z
)
2
=
u
4
+
α
2
+
y
2
+
2
α
u
2
+
2
y
u
2
+
2
α
y
−
w
2
u
2
+
2
w
z
u
−
z
2
=
u
4
+
(
2
α
+
2
y
−
w
2
)
u
2
+
2
w
z
u
+
(
α
2
+
y
2
+
2
α
y
−
z
2
)
{\displaystyle {\begin{aligned}(u^{2}+\alpha +y)^{2}-(w\,u-z)^{2}&=u^{4}+\alpha ^{2}+y^{2}+2\alpha u^{2}+2yu^{2}+2\alpha y-w^{2}u^{2}+2wzu-z^{2}\\&=u^{4}+(2\alpha +2y-w^{2})u^{2}+2wzu+(\alpha ^{2}+y^{2}+2\alpha y-z^{2})\end{aligned}}}
ergeben sich
w
2
=
α
+
2
y
{\displaystyle w^{2}=\alpha +2y}
z
2
=
(
α
+
y
)
2
−
γ
{\displaystyle z^{2}=(\alpha +y)^{2}-\gamma }
β
=
2
w
z
{\displaystyle \beta =2wz}
Damit der zweite Teil der Differenz ein vollständiges Quadrat in
u
{\displaystyle u}
Diskriminante dieses quadratischen Terms verschwinden:
0
=
4
w
2
z
2
−
β
2
=
4
(
α
+
2
y
)
(
(
α
+
y
)
2
−
γ
)
−
β
2
{\displaystyle 0=4w^{2}z^{2}-\beta ^{2}=4\,(\alpha +2y)\,((\alpha +y)^{2}-\gamma )-\beta ^{2}}
0
=
y
3
+
5
2
α
y
2
+
(
2
α
2
−
γ
)
y
+
1
2
α
(
α
2
−
γ
)
−
1
8
β
2
{\displaystyle 0=y^{3}+{\tfrac {5}{2}}\alpha \,y^{2}+(2\alpha ^{2}-\gamma )\,y+{\tfrac {1}{2}}\alpha (\alpha ^{2}-\gamma )-{\tfrac {1}{8}}\beta ^{2}}
Dies ist eine kubische Gleichung in
y
{\displaystyle y}
Aus einer der Lösungen für
y
{\displaystyle y}
quadratische Gleichungen in
u
{\displaystyle u}
u
{\displaystyle u}
x
{\displaystyle x}
Dreiecksgeometrie
Koecher/Krieg[ 1] Grundmann[ 2] ETC[ 3] Überprüft: [X(5)], X(6), X(7), X(8), X(9), X(10), [X(11)], X(15), X(16), X(17), X(18), X(19), X(20), X(21), X(22), X(40)
Einzelnachweise
↑ Max Koecher, Aloys Krieg: Ebene Geometrie . 3. Auflage. Springer, Berlin Heidelberg New York 2007, ISBN 978-3-540-49327-3 .
↑ Wolfgang Grundmann: Dreieckgeometrie . AVM, München 2010, ISBN 978-3-89975-808-5 .
↑ Clark Kimberling: Enyclopedia of Triangle Centers. Abgerufen am 14. Januar 2025 (englisch). ↑ Paul Yiu: Introduction to Triangle Geometry. Abgerufen am 16. Januar 2025 (englisch). ↑ Max Schindler, Evan Chen: Barycentric Coordinates for the Impatient. S. 2, Corollary 9 , abgerufen am 16. Januar 2025 (englisch). ↑ R. H. Eddy, R. Fritsch: The Conics of Ludwig Kiepert . In: Mathematics Magazine . Band 67 , Nr. 3 , Juni 1994, S. 193 (uni-muenchen.de [PDF]).
Eine Lotebene ist in der Raumgeometrie eine Ebene , die zu einer gegebenen Geraden oder zu einer gegebenen Ebene senkrecht ist.
Lotebene zu einer Geraden
Lotebene (rot) zu einer Geraden
g
{\displaystyle g}
P
{\displaystyle P}
Zu einer Geraden
g
{\displaystyle g}
parallel sind.
Sind eine Gerade
g
{\displaystyle g}
P
{\displaystyle P}
g
{\displaystyle g}
P
{\displaystyle P}
Lotebene zu einer Ebene
Prozent , Beispiel im Abschnitt „Begriffe“Das Symbol
p
{\displaystyle p}
physikalischen Größen selbstverständlich. Wenn eine Masse
m
{\displaystyle m}
75
k
g
{\displaystyle 75\,\mathrm {kg} }
m
=
75
k
g
{\displaystyle m=75\,\mathrm {kg} }
m
=
75
{\displaystyle m=75}
Prinzip: Größe = Maßzahl mal Einheit
Dadurch werden die Formeln übersichtlicher:
Formeln:
Prozentsatz
=
Prozentwert
Grundwert
;
Prozentwert
=
Prozentsatz
⋅
Grundwert
;
Grundwert
=
Prozentwert
Prozentsatz
.
{\displaystyle \quad {\text{Prozentsatz}}={\frac {\text{Prozentwert}}{\text{Grundwert}}};\quad {\text{Prozentwert}}={\text{Prozentsatz}}\cdot {\text{Grundwert}};\quad {\text{Grundwert}}={\frac {\text{Prozentwert}}{\text{Prozentsatz}}}.}
Formeln (abgekürzt):
p
=
W
G
;
W
=
p
⋅
G
;
G
=
W
p
.
{\displaystyle \quad p={\frac {W}{G}};\quad W=p\cdot G;\quad G={\frac {W}{p}}.}
Beispiel (übernommen): Prozentwert 7350 Einwohner, Grundwert 15000 Einwohner, Prozentsatz 49 %
Prozentsatz
=
7350
15000
=
0
,
49
=
49
%
{\displaystyle {\text{Prozentsatz}}={\frac {7350}{15000}}=0{,}49=49~\%}
Prozentwert
=
49
%
⋅
15000
=
0
,
49
⋅
15000
=
7350
{\displaystyle {\text{Prozentwert}}=49~\%\cdot 15000=0{,}49\cdot 15000=7350}
Grundwert
=
Prozentwert
Prozentsatz
=
7350
49
%
=
7350
0
,
49
=
15000
{\displaystyle {\text{Grundwert}}={\frac {\text{Prozentwert}}{\text{Prozentsatz}}}={\frac {7350}{49~\%}}={\frac {7350}{0{,}49}}=15000}
Fazit: Sobald in einer Formel zur Prozentrechung die Zahl 100 oder gar ein Prozentzeichen auftritt, blickt niemand mehr durch.
![{\displaystyle u^{4}+\alpha \,u^{2}+\beta \,u+\gamma =(u^{2}+\alpha +y)^{2}-[(\alpha +2y)\,u^{2}-\beta \,u+((\alpha +y)^{2}-\gamma )]}](/media/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca7b26c7fb1acec988f5b017ce925cd7c58047b3)
![{\displaystyle (u^{2}+\alpha +y)^{2}-[(\alpha +2y)\,u^{2}-\beta \,u+((\alpha +y)^{2}-\gamma )]}](/media/api/rest_v1/media/math/render/svg/69e965452874eb06716c1cd12dfcdf81610185e2)
![{\displaystyle =u^{4}+\alpha ^{2}+y^{2}+2u^{2}\alpha +2u^{2}y+2\alpha y-[(\alpha +2y)\,u^{2}-\beta \,u+((\alpha +y)^{2}-\gamma )]}](/media/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e69a8457b4d6f6590c7b70c418a7c8996a2456e)
