Subtrahierer

Der Subtrahierer ist eine elektronische Schaltung der Analogtechnik zur Messung von elektrischen Potentialdifferenzen.

In der Praxis werden Subtrahierer aus Operationsverstärkern, gegengekoppelten Differenzverstärkern oder mit beschaltenen Kondensatoren (Switched-Capacitor-Technik) realisiert.

Eingangswiderstand und Güte

Beim Subtrahierer ist der Eingangswiderstand von besonderem Interesse, da es bei Messungen der Potentialdifferenz $U_{diff}$ mit

$U_{D}=\phi _{2}-\phi _{1}$

wichtig ist, die Potenzialdifferenz möglichst unabhängig von der der Differenz überlagerten Gleichtaktspannung $U_{Gl}$ mit

$U_{Gl}={\frac {\phi _{1}+\phi _{2}}{2}}$

zu messen, da die Gleichtaktspannung in der Praxis häufig um den Faktor 10⁴ oder mehr größer sein kann.

Die Güte $G$ der Gleichtaktunterdrückung ist durch die Gleichung

$G={\frac {A_{D}}{A_{Gl}}}={\frac {\frac {U_{a}}{U_{D}}}{\frac {U_{D}}{U_{Gl}}}}$

beschrieben. Der Wert der Güte des Subtrahierers muss dabei wesentlich größer sein als das Verhältnis von der minimalen zu messenden Potenzialdifferenz zur maximalen Gleichtaktspannung, um einen korrekten Wert zu liefern.

Weitere Probleme können sich zudem ergeben, wenn die Gleichtaktspannung eine Frequenzen aufweist, da hier auch das Frequenz- und Laufzeitverhalten – sowie die veränderte Verstärkung – der Schaltung berücksichtigt werden muss.

Aufbau mit Operationsverstärker

Subtrahierer aus Inverter und Addierer

Eine Subtraktion lässt sich auf eine Addition zurückführen, indem man das zu subtrahierende Signal invertiert und anschließend die beiden Signale addiert. Bei der im Bild gezeigten Schaltung wird die Eingangsspannung U₂ am Operationsverstärker N₁ invertiert. Der Operationsverstärker N₂ bildet eine Additionsschaltung und addiert die Spannung U₁ mit dem invertiertem Signal. Dadurch ergibt sich für die Ausgangsspannugn der Zusammenhang

$U_{a}=A_{1}\,U_{2}-A_{2}\,U_{1}$

wobei A₁ und A₂ die Verstärkungen der jeweiligen Schaltungen mit N₁ bzw. N₂ darstellen. Eine reine Differenzverstärkung ergibt sich, wenn man die beiden Verstärkungen gleich groß wie die geforderte Differenzverstärkung wählt

$A_{1}=A_{2}=A_{diff}\to U_{a}=A_{diff}\,\left(U_{2}-U_{1}\right)$

Zur Berechnung der Gleichtaktverstärkung (dh. die Abweichung von der idealerweise reinen Differenzverstärkung) ist in dieser Schaltung gegeben durch

$G={\frac {A_{D}}{A_{Gl}}}$

Durch Einsetzen von

$U_{2}=U_{Gl}+{\frac {1}{2}}\,U_{D}$

und

$U_{1}=U_{Gl}-{\frac {1}{2}}\,U_{D}$

erhält man

$U_{a}=A_{1}\,U_{2}-A_{2}\,U_{1}$

$U_{a}=A_{1}\,U_{Gl}+{\frac {1}{2}}\,U_{D}-A_{2}\,U_{Gl}-{\frac {1}{2}}\,U_{D}$

$U_{a}=\left(A_{2}-A_{1}\right)\,U_{Gl}+{\frac {1}{2}}\,\left(A_{2}+A_{1}\right)\,U_{D}$

$U_{a}=A_{Gl}\,U_{G}l+A_{D}\,U_{D}$

Hierbei ist U_Gl die Gleichtaktspannung, A_Gl die Gleichtaktverstärkung, U_D die Differenzspannung und A_D die Differenzverstärkung.

Die Gleichtaktunterdrückung ergibt sich volglich aus

Fehler beim Parsen (Unbekannte Funktion „\farc“): {\displaystyle G = \farc{A_D}{A_{Gl}} = \frac{A_2 + A_1}{2\,\left( A_2 - A_1 \right) }}

Um eine maximale Gleichtaktunterdrückung zu erreichen muss also

$A_{1}=A_{2}=A_{diff}$

gelten. Dies wird als Koeffizientenbedingung bezeichnet. In diesem Fall gilt weiter:

$A_{1}=A-{\frac {\Delta A}{2}}$

$A_{2}=A+{\frac {\Delta A}{2}}$

Durch Einsetzen erhält man

$G={\frac {A_{2}+A_{1}}{2\,\left(A_{2}-A_{1}\right)}}$

$G={\frac {A+{\frac {\Delta A}{2}}+A-{\frac {\Delta A}{2}}}{2\,\left(A+{\frac {\Delta A}{2}}-A-{\frac {\Delta A}{2}}\right)}}$

$G={\frac {A}{\Delta A}}$

Dies bedeutet, dass die Gleichtaktunterdrückung gleich dem Kehrwert der relativen Paarungstoleranz der beiden Verstärkungen ist.

Subtrahierverstärker

Subtrahierer mit einem Operationsverstärker

Mehrfach-Subtrahierer

Subtrahierer mit hochohmigen Eingängen

Subtrahierer aus Subtrahierverstärker mit Impedanzwandlern

Der Aufbau des Subtrahierers mit hochohmigen Eingängen basiert im Wesentlichen auf dem Subtrahierverstärker, bietet jedoch zusätzliche Spannungsfolger and den Eingängen, um die zu messenden Potenziale nicht mit dem Eingangswiderstand des Subtrahierers zu belasten. Zudem lässt sich eine höhere Gleichtaktunterdrückung erzielen, wenn man die Spannungsverstärkung in die Impendanzwandler verlagert und auf dem Subtrahierer die Verstärkung 1 eingestellt wird.

Für den im Bild gezeigten Subtrahierverstärer mit Impedanzwandlern gilt hierbei die folgende Gleichung:

$U_{a}=\left(\phi _{2}-\phi _{1}\right)\,{\frac {R_{2}}{R_{1}}}$

Symmetrischer Elektrometersubtrahierer

Elektrometersubtrahierer

Ein Spezialfall dieses Typs ist der (symmetrische) Elektrometersubtrahierer, bei dem zwischen den beiden Impedanzwandlern ein zusätzlicher Widerstand $R_{r}$ geschalten wird (allgemein als Instrumentierungsverstärker, Instrumentenverstärker, Instrumentationsverstärker oder engl. Instrumentation Amplifier kurz InAmp bezeichnet). Dieser Widerstand macht die Differenzverstärkung einstellbar. Bei $R_{r}=\infty$ arbeiten die beiden Operationsverstärker am Eingang als Spannungsfolger, was dem Subtrahierverstärer mit Impedanzwandlern ohne $R_{r}$ entspricht.

Am Widerstand $R_{r}$ tritt die Potenzialdifferenz $\phi _{2}-\phi _{1}$ auf. Dadurch gilt:

$\phi '_{2}-\phi '_{1}=\left(\phi _{2}-\phi _{1}\right)\,\left(1+{\frac {2\,R_{1}}{R_{r}}}\right)$

Die Differenz $\phi '_{2}-\phi '_{1}$ wird dabei an den Ausgang übertragen.

Bei einer reinen Gleichtaktaussteuerung gilt

$\phi _{1}=\phi _{1}=\phi '_{1}=\phi '_{2}=\phi _{Gl}$

wodurch die Gleichtaktverstärkung immer den Faktor 1 aufweist. Dadurch ergibt sich für die Gleichtaktunterdrückung der Zusammenhang

$G=\left(1+{\frac {2\,R_{1}}{R_{r}}}\right)\,{\frac {2\,\alpha }{\Delta \alpha }}$

wobei der Faktor

${\frac {2\,\alpha }{\Delta \alpha }}$

die relative Paarungstoleranz der Widerstände $R_{2}$ darstellt.

Asymmetrischer Elektrometersubtrahierer

Durch einen asymmetrischen Aufbau des Elektrometersubtrahierers kann der Operationsverstärker am Ausgang entfallen.

Asymmetrischer Elektrometersubtrahierer

Der im ersten Bild gezeigte asymmetrische Elektrometersubtrahierer verstärkt das Eingangssignal mit $U_{1}$ am Operationsverstärker $N_{1}$ mit der Verstärkung

$1+{\frac {R_{1}}{R_{2}}}$

und das Eingangssignal mit $U_{2}$ am Operationsverstärker $N_{2}$ mit der Verstärkung

$1+{\frac {R_{2}}{R_{1}}}$.

Zusätzlich addiert sich das in den Flusspunkt induzierte Potenzial $\phi '_{1}$ mit der Gewichtung

$-{\frac {R_{2}}{R_{1}}}$.

Betragsmäßig werden also die beiden Eingangsspannungen um den Faktor

$1+{\frac {R_{2}}{R_{1}}}$

verstärkt. Daher ergibt sich für die Ausgangsspannung

$U_{a}=\left(\phi _{2}-\phi _{1}\right)\,\left(1+{\frac {R_{2}}{R_{1}}}\right)$

---

Asymmetrischer Elektrometersubtrahierer mit einstellbarer Verstärkung

Wie im zweiten Bild gezeigt, kann durch die Verwendung eines zusätzlichen (regelbaren) Widerstandes $R_{r}$ zwischen den Potenzialen $\phi _{1}$ und $\phi _{2}$ die Verstärkung der Schaltung eingestellt werden. Für die Ausgangsspannung gilt die Gleichung

$U_{a}=\left(\phi _{2}-\phi _{1}\right)\,2\,\left(1+{\frac {R_{2}}{R_{1}}}\right)$

---

Subtrahierer mit einseitig hochohmigen Eingang

Bei Anwendungen, bei denen nur ein hochohmiger Eingang benötigt wird kann auch die im dritten Bild gezeigte Schaltung verwendet werden. Diese benötigt nur einen einzigen Operationsverstärker. Allerdings ist die Verstärkung von $U_{2}$ immer größer als die von $U_{1}$, was die Einsatzmöglichkeiten weiter einschränkt, jedoch beispielsweise bei der Verstärkung und Nullpunktverschiebung von Sensorsignalen kein Nachteil darstellt. Für die Ausgangsspannung gilt die Gleichung

$U_{a}=U_{2}\,\left(1+{\frac {R_{N}}{R_{1}}}+{\frac {R_{N}}{R_{2}}}\right)-U_{1}\,{\frac {R_{N}}{R_{1}}}$

Zudem erhält man durch das Weglassen von $R_{2}$ ($R_{2}=\infty$) einen herkömmlichen Verstärker. Setzt man zudem noch $R_{1}=R_{N}$ so gilt für die Ausgangsspannung der Zusammenhang

$U_{a}=2\,U_{2}-U_{1}$

Hochspannungssubtrahierer

Hochspannungssubtrahierer

Hochspannungssubtrahierer mit einstellbarer Verstärkung

Auch zur Subtraktion von Hochspannungen werden hochohmige Eingäge benötigt. Da jedoch eine hohe Dämpfung erforderlich ist um die Hochspannung am Eingang auf eine Niederspannung am Ausgang zu erhalten, wählt man $R_{1}\gg R_{2}$. Dadurch, dass die beiden Widerstände $R_{1}$ und damit die Eingänge sehr hochohmig sind, können die Impedanzverstärker am Eingang entfallen. Gleichzeitig wird über den Spannungsteiler bestehend aus $R_{1}$ und $R_{2}$ die Spannung so weit heruntergesetzt, dass man keinen Hochspannungs-Operationsverstärker benötigt.

Der in der ersten Abbildung gezeigte Hochspannungssubtrahierer hat den Nachteil, dass das Differenzsignals ebenfalls sehr stark gedämpft wird. Für die Verstärkung in der ersten Schaltung gilt:

$A={\frac {R_{2}}{R_{1}}}\ll 1$

Um bei kleinen Spannungsdifferenzen dennoch eine möglichst große Aussteuerung zu erreichen muss daher ein zusätzlicher Verstärker am Ausgang eingesetzt werden, wodurch sich jedoch das Signal-Rausch-Verhältnis verschlechtert.

Um dieses Problem zu umgehen kann man den Hochspannungssubtrahierer mit einstellbarer Verstärkung einsetzen. Bei dieser Schaltung kann die Dämpfung der hohen Eingangsspannungen und die Verstärkung der Differenzspannung getrennt dimensioniert werden. Die Widerstände $R_{1}$ und $R_{2}$ bestimmen die Verstärkung, während die Widerstände $R_{3}$ nur auf die Gleichtaktaussteuerung wirken. Der in der Abbildung gezeigte Hochspannungssubtrahierer mit einstellbarer Verstärkung entspricht dem INA 148 von Burr Brown und hat die Verstärkung 1 für die Spannungsdifferenz.

Nachteilig am Hochspannungssubtrahierer mit einstellbarer Verstärkung ist jedoch, dass die beiden $R_{3}$-Widerstände die Eingangssignale des Operationsverstärkers dämpfen. Dadurch reduziert sich die Schleifenverstärkung und folglich auch die Bandbreite der Schaltung. Zudem wird die Offsetspannung und der Offsetspannungsdrift des Operationsverstärkers verstärkt. Dadurch werden in dieser Schaltung wesentlich bessere Operationsverstärker benötigt. Zudem benötigt man, für die beiden $R_{3}$-Widerstände, Bauteile mit sehr geringer Toleranz. Die Widerstände $R_{2}$ und $R_{3}$ am nichtinvertierenden Eingang werden nicht zusammengefasst, um eine möglichst geringe Gleichlauftoleranz sicherzustellen.

Aufbau mit Differenzverstärker

Elektrometer-Subtrahierer mit gegengekoppelten Differenzverstärkern

Durch die manuelle Dimensionierung der Stromgegenkopplung kann man die Differenzverstärkung des Differenzverstärkers einstellen. Zudem lässt sich im Differenzverstärker, durch den Einsatz einer Konstantstromquelle am Emitter, eine hohe Gleichtaktunterdrückung erzielen. Eine solche Schaltung ist in der nebenstehenden Abbildung dargestellt.

Die Transistoren V₁ und V₂ bilden hierbei den eigentlichen Differenzverstärker an den Eingängen der Schaltung und ist über den Widerstand R_G gegengekoppelt. Die Differenz der Kollektorstöme wird an dem Operationsverstärker N₁ in die Ausgangsspannung umgesetzt.

Mit dem zweitem Differenzverstärker – bestehend aus V₃ und V₄ – wird eine gleich große Stromdifferenz gebildet.

$\Delta I_{C}={\frac {V_{2}-V_{1}}{R_{G}}}={\frac {V_{4}-V_{3}}{R_{S}}}$

Dadurch wird die Stromdifferenz kompensiert, so dass die Kollektorströme von V₁ und V₂ immer den selben Strom wie die Stromquellen (I₁) aufweisen. Erreicht wird dies, indem der Operationsverstärker N₁ an V₄ gegengekoppelt wird.

Hierbei gilt für die Ausgangsspannung $U_{a}$:

$U_{a}=\left(\phi _{2}-\phi _{1}\right)\,\left(1+{\frac {R_{2}}{R_{1}}}\right)\,{\frac {R_{S}}{R_{G}}}$

In vorgefertigten integrierten Schaltungen sind die Widerstände R₁ und R₂ bereits fest vorgegeben. Die Verstärkung der Schaltung wird in diesem Fall über die Widerstände R_G und R_S eingestellt. Der Vorteil ist jedoch, dass die Stärke der Gleichtaktunterdrückung nicht von der Paarungstoleranz von R_G und R_S abhängig ist, wodurch man nicht auf speziell an die einzelne Schaltung angepasste (lasergetrimmte) Dünnschichtfilm-Widerstände angewiesen ist.

Aufbau in SC-Technik

Subtrahierer in Switched-Capacitor-Technik

Das Prinzip eines Subtrahierers in Switched-Capacitor-Technik beruht darauf, dass zuerst ein Speicher-Kondensator C_S auf die zu messende Spannung aufgeladen wird. Anschließend wird die elektrische Ladung dieses Kondensators auf einen zweiten, einseitig gegen Masse geerdeten, Halte-Kondensator C_H übertragen. Nach mehreren Schaltzyklen, sowie ausreichender Lade- sowie Umladezeit, liegt auf den beiden Kondensatoren die Differenzspannung an.

$U_{H}=U_{S}=U_{D}=\phi _{2}-\phi _{1}$

Da der Halte-Kondensator gegen Masse geschalten ist, tritt keine Gleichtaktspannung auf, wodurch die Spannung an dem zweiten Kondensator über einen einfachen Elektrometerverstärker ohne zusätzliche Differenzbildung verstärkt werden kann. Dadurch kann eine sehr hohe Gleichtaktunterdrückung erzielt werden.

Die Genauigkeit der Differenzbildung wird beinahe nur durch die Streukapazitäten der Schalter bestimmt Um diese verhältnismäßig klein werden zu lassen, werden die Kondensatoren C_S und C_H möglichst groß gewählt (etwa 1 µF).

Mit dem integrierten Schalter LTC1043 von Linear Technology lässt sich so beispielsweise bis zu einer Frequenz von 20 kHz eine Gleichtaktunterdrückung von 120 dB (dh. der Gleichtaktanteil wird um den Faktor 10⁶ reduziert) erreichen.

Die Bandbreite der Schaltung wird durch drei Tiefpässe reduziert:

1. Aufladung des Speicherkondensators
2. Ladungsübertragung des Speicher- auf den Haltekondensators
3. Bandbreite des Verstärkers

Aufladung des Speicherkondensators

Die Ladezeit des Kondensators wird bestimmt durch:

• Kapazität des Speicherkondensators
• Widerstand der Schalter (2·240 Ω beim LTC1043)
• Innenwiderstand der Quelle

Ladungsübertragung des Speicher- auf den Haltekondensators

Vor der ersten Ladungsübertragung ist

$U_{H}=0$,

nach der ersten Ladungsübertragung ist

$U_{H}={\frac {1}{2}}\,U_{D}$,

nach der zweiten Ladungsübertragung ist

$U_{H}={\frac {3}{4}}\,U_{D}$,

nach der dritten Ladungsübertragung ist

$U_{H}={\frac {7}{8}}\,U_{D}$,

usw.. Die daraus resultierende Zeitkonstante entspricht daher etwa zwei Schaltzyklen. Um parasitäre Ladungen aus dem Schaltvorgang gering zu halten, werden niedrige Schaltfrequenzen von 500 Hz verwendet. Deshalb können mit dieser Schaltung nur niederfrequente Differenzsignale verarbeitet werden. Zudem können auch Frequenzen mit kleiner 10 bis 50 Hz nicht (korrekt) gemessen werden.

Bandbreite des Verstärkers

Auch die Bandbreite des Verstärkers reduziert die nutzbare Bandbreite. Über den zusätzlichen Kondensator an R₂ wird die Bandbreite des Verstärkers noch weiter herabgesetzt. In der Praxis wird dieser Kondensator so gewählt, dass die Bandbreite auf den zu messenden Frequenzbereich (rund 10 bis 50 Hz) reduziert wird, um höherfrequente Signale zu filtern und damit das Rauschen am Ausgang möglichst gering zu halten.

Subtrahiererbausteine

Integrierte Subtrahierer

Hersteller	ID	A	Ie	Uoffset	Typ	besondere Merkmale
rowspan="5" Vorlage:Highlight4| Analog Devices	AD620	1…1k	0,5 nA	50 µV	Diff	günstiger Preis
AD621	10, 100	0,5 nA	50 µV	Diff
AD623	1…1k	17 nA	100 µV	InAmp	Rail-to-Rail Offset (RRO)
AD624	1…1k	25 nA	25 µV	Asym	präzise
AD629	1	2,5 µA V-1	200 µV	HVSubS	UGL = ±270 V
rowspan="4" Vorlage:Highlight4| Linear Technology	LT1101	10, 100	6 nA	50 µV	Asym	Pb = 0,5 mW
LT1102	10, 100	10 pA	200 µV	${\frac {\Delta U_{a}}{\Delta t}}=25\,{\frac {\mathrm {V} }{\mathrm {\mu s} }}$
LT1167	1…10k	100 pA	20 µV	InAmp	präzise
LTC1100	100	25 pA	2 µV	Asym	Autozero-Funktion
Vorlage:Highlight4| National	CLC522	1…10	20 µA	25 µV	Diff	${\frac {\Delta U_{a}}{\Delta t}}=2\,{\frac {\mathrm {kV} }{\mathrm {\mu s} }}$
Vorlage:Highlight4 rowspan="14"| Texas Instruments	INA103	1…100	2,5 µA	50 µV	InAmp	$U_{r}=1\,{\frac {\mathrm {nV} }{\sqrt {\mathrm {Hz} }}}$
INA105	1	20 µA V-1	50 µV	HVSub	günstiger Preis
INA106	10	50 µA V-1	50 µV
INA110	1…5k	20 pA	50 µV	InAmp	${\frac {\Delta U_{a}}{\Delta t}}=17\,{\frac {\mathrm {V} }{\mathrm {\mu s} }}$
INA114	1…1k	1 nA	25 µV		präzise; günstiger Preis
INA116	1…1k	3 fA	2 mV		IB ≈ 3 fA
INA118	1…10k	1 nA	20 µV		IB = 0,4 mA
INA121	1…10k	4 pA	200 µV
INA122	5…10k	10 nA	100 µV	AsymS	IB = 60 µA
INA131	100	1 nA	25 µV	InAmp	präzise; günstiger Preis
INA148	1	1 µA V-1	1 mV	HVSubS	UGL = ±200 V
INA2141	10, 100	2 nA	20 µV	InAmp	2 Subtrahierer im IC
PGA204	1…1k	2 nA	50 µV		Verstärkung digital einstellbar
PGA207	1…10	2 pA	1 V

Legende für obenstehende Tabelle

Typ	Aufbau
InAmp	Symmetrischer Elektrometersubtrahierer (Instrumentationsverstärker)
Diff	Aufbau mit Differenzverstärker
Asym	Asymmetrischer Aufbau
AsymS	Asymmetrischer Aufbau; einstellbar
HVSub	Hochspannungssubtrahierer
HVSubS	Hochspannungssubtrahierer; Verstärkung einstellbar
Vorlage:Highlight2 colspan="2"|Anmerkung: Abkürzungen sind willkürlich gewählt

Literatur

• Ulrich Tietze, Christoph Schenk, Eberhard Gamm, Halbleiter-Schaltungstechnik, Springer 2002, 12. Auflage, ISBN 3540428496

Siehe auch

• Summierverstärker
• Trennverstärker