Partielle Funktion

Eine mathematische Funktion heißt partielle Funktion, wenn es nur für eine Teilmenge von Elementen der Definitionsmenge auch eine Abbildung in die Wertemenge gibt. Anders formuliert ist die Funktion an einigen Stellen bewusst undefiniert, in vielen Anwendungen sind dies endlich viele Stellen oder zumindest auf die Definitionsmenge eine Nullmenge.

Beispiel

Die Funktion

$f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\quad f(x):={\frac {1}{x}}$

ist an der Stelle x = 0 undefiniert, weil die Division durch 0 undefiniert ist.

Bemerkungen

Man schreibt die Definition partieller Funktionen in der theoretischen Informatik oft als $f:\subseteq A\to B$. Ist f an einer Stelle x undefiniert, so schreibt man zuweilen kurz $f(x)={\mbox{div}}$. Das Verhalten einer Registermaschine, deren Maschinenfunktion f ist, ist ebenfalls undefiniert. Das heißt, ihr Wert ist zunächst unbekannt, es kann also sein, dass sie für ein solches Argument x nicht terminiert, z.B. weil sie eine Endlosschleife durchläuft. Es ist aber auch möglich, dass sie einen unvorhergesehenen Wert liefert.

Siehe auch: totale Funktion