Charakteristisches Polynom

Das charakteristische Polynom CP einer quadratischen Matrix A ist gegeben durch:

$\quad CP(A,\lambda )=\det(A-\lambda I)$

Das resultierende monische Polynom ist für eine n x n Matrix ein Polynom n-ten Grades.

Man kann auch $\det(\lambda I-A)$ definieren, wodurch sich jedoch nur bei ungeradem n das Vorzeichen des Polynoms ändert. Das charakteristische Polynom spielt eine wichtige Rolle bei der Bestimmung der Eigenwerte einer Matrix, denn die Eigenwerte sind genau die Nullstellen des charakteristischen Polynoms.

Nach dem Satz von Cayley-Hamilton gilt für das charakteristische Polynom $f_{A}(X)$ einer Matrix A: $f_{A}(A)=0$.

Daraus ergibt sich, dass das Minimalpolynom das charakteristische Polynom teilt.

Für 2 x 2 Matrizen hat das charakteristische Polynom die besonders einfache Form:

$CP(A,\lambda )=\lambda ^{2}-\operatorname {spur} (A)\cdot \lambda +\det(A)$

Eigenschaften

• Die charakteristischen Polynome zweier ähnlicher Matrizen sind gleich, wobei die Umkehrung nicht richtig ist.

Beispiele

$A={\begin{pmatrix}1&0&1\\2&2&1\\4&2&1\end{pmatrix}}$ Es muss berechnet werden: $det{\begin{pmatrix}1-\lambda &0&1\\2&2-\lambda &1\\4&2&1-\lambda \end{pmatrix}}$

was das Ergebnis

$\,=CP(A,\lambda )=\lambda ^{3}-4\lambda ^{2}-\lambda +4=(\lambda -1)(\lambda +1)(\lambda -4)$

liefert. Damit besitzt also die Matrix A die Eigenwerte 1, -1 und 4.

Herleitung

Sei $\lambda$ der Eigenwert von $A\in \mathbb {R} ^{n\times n}$ zum Eigenvektor $x\neq 0$

$\,\Rightarrow Ax=\lambda x$

$\,\Rightarrow (A-\lambda E)=0$

$\,\Rightarrow A-\lambda E$ ist singulär

$\,\Rightarrow \det(A-\lambda E)=0$

Also ist $\lambda$ Nullstelle des charakteristischen Polynoms $\Box$