Fermat-Zahl
Eine Fermat-Zahl, benannt nach dem französischen Mathematiker Pierre de Fermat, ist eine natürliche Zahl der Form Fn:=22n+1 (2^(2^n)+1), wobei n eine nichtnegative ganze Zahl ist.
Eine Fermatsche Primzahl ist eine Fermat-Zahl, die gleichzeitig Primzahl ist.
Fermat kannte die ersten fünf Fermatzahlen
- F0 = 3, F1 = 5, F2 = 17, F3 = 257, F4 = 65537,
und er vermutete 1637, dass alle Fermat-Zahlen Primzahlen sind. Diese Vermutung wurde von Leonhard Euler 1732 widerlegt, indem er den echten Teiler 641 von F5 = 4294967297 berechnete. Man vermutet inzwischen, dass alle Fermat-Zahlen, außer den ersten fünf, keine Primzahlen sind. Diese umgekehrte Vermutung basiert auf einem heuristischen Argument von H. W. Lenstra, welcher die "Wahrscheinlichkeit" dafür, dass Fn prim ist zu n/2n berechnet. Da aber die Summe dieser Ausdrücke konvergiert, kann es nur endlich viele Fermat-Zahlen geben.
Faktorisierungsstatus von Fermat-Zahlen
Die Zahlen F0 bis F4 sind Primzahlen.
Die vollständig faktorisierten Fermat-Zahlen entnimmt man folgender Tabelle:
Von F5 - F7:
| n | Fn | Wer |
| 5 | 641 * 6700417 | Euler (1732) |
| 6 | 274177*67280421310721 | Landry & Le Lasseur (1880) |
| 7 | 59649589127497217*5704689200685129054721 | Morrison & Brillhart (1970) |
Ab F8
| n | Wer |
| 8 | Brent & Pollard (1980) |
| 9 | Western (1903), Lenstra & Lenstra & Manasse & Pollard (1990) |
| 10 | Selfridge (1953), Brillhart (1962), Brent (1995) |
| 11 | Cunningham (1899), Brent & Morain (1988) |
| 12 | Pervouchine & Lucas (1877), Western (1903), Hallyburton & Brillhart (1974) |
| 13 | Hallyburton & Brillhart (1974), Crandall (1991) |
| 14 | Selfridge and Hurwitz (1964) |
| 15 | Kraitchik (1925), Gostin (1987), Suyanama (1989) |
Von den Zahlen F12 bis F32, sowie von etlichen größeren Fermat-Zahlen ist bekannt, dass sie zusammengesetzt sind. Von einigen sind auch schon ein paar Faktoren bekannt. Insgesamt weiß man von 217 Fermat-Zahlen, dass sie zusammengesetzt sind.
Um von einer Fermat-Zahl nachzuweisen, dass sie zusammengesetzt ist, benutzt man in der Regel den Pepin-Test und den Suyama-Test, die beide besonders auf diese Zahl zugeschnitten und sehr schnell sind.
Eigenschaften
- Für einen Teiler p einer Fermat-Zahl Fn gilt p ≡ 1 (mod 2n+1)
- Fermat-Zahlen lassen sich rekursiv berechnen aus
- Fn = F0F1...Fn-1 + 2
- Zwei Fermat-Zahlen sind zueinander teilerfremd.
Aus den letzten beiden Aussagen folgt übrigens, dass es unendlich viele Primzahlen gibt (siehe auch Goldbachs Beweis).
Geometrische Anwendung der Fermatschen Primzahlen
Carl Friedrich Gauß zeigte (Erstveröffentlichung von Wantzel im Jahre 1836), dass es einen Zusammenhang zwischen der Konstruktion von regelmäßigen Vielecken und den Fermatschen Primzahlen gibt: Ein regelmäßiges Vieleck mit n Seiten kann nur dann mit Zirkel und Lineal konstruiert werden, wenn n eine Potenz von 2 oder das Produkt einer Potenz von 2 und verschiedenen Fermatschen Primzahlen ist.
Verallgemeinerte Fermatsche Zahlen
Statt der Basis 2 kann man auch eine andere Basis wählen. Eine Zahl der Form Fn=b2n+1, mit einer natürlichen Zahl b heißt Verallgemeinerte Fermatsche Zahl. Ist eine solche Zahl auch noch prim, dann heißt sie Verallgemeinerte Fermatsche Primzahl.
Beispiel: b=4, n=1 ergibt die Primzahl 17.
Internationale Suche
Es existiert ein internationales Projekt Generalized Fermat Prime Search, welches große Fermatsche und große verallgemeinerte Fermatsche Primzahlen sucht. Jeder kann sich daran beteiligen.
Weblinks
- http://mathworld.wolfram.com/FermatNumber.html (englisch)
- http://www.prothsearch.net/fermat.html Aktueller Faktorisierungsstatus aller Fermatzahlen (englisch)
- http://perso.wanadoo.fr/yves.gallot/primes/index.html GFPS Internationale Suche nach Verallgemeinerten Fermatschen Primzahlen (englisch)