Fundamentallösung

Eine Fundamentallösung ist ein wichtiges Hilfsmittel in der Theorie der partiellen Differentialgleichungen. Mit Hilfe einer Fundamentallösung kann man spezielle Lösungen für diese Gleichungen konstruieren.

Mathematische Definition

Falls L ein linearer Differentialoperator mit konstanten Koeffizienten ist, dann ist eine Fundamentallösung $G(x)$ definiert als distributionelle Lösung von

$LG(x)=\delta (x)$

Hier ist $\delta (x)$ die Dirac'sche Delta-Funktion.

Anwendung

Falls eine Fundamentallösung bekannt ist, erhält man eine Lösung der Gleichung $Lu(x)=f(x)$ durch Faltung:

$u(x)=\int G(x-y)f(y)dy$

Theorie

Für viele Differentialgleichungen ist eine Fundamentallösung bekannt, etwa Poisson-Gleichung, Wärmeleitungsgleichung, Wellengleichung, Helmholtz-Gleichung. Allgemein gilt der Satz von Ehrenpreis-Malgrange, wonach jede partielle Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten eine Fundamentallösung besitzt.