Determinante

In der Linearen Algebra ist die Determinante eine Funktion, die jeder quadratischen Matrix eine Zahl zuordnet. Zum Beispiel hat die 2-mal-2 Matrix

$A={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}$

die Determinante

$\det(A)=ad-bc$.

Die Formel für größere Matrizen wird weiter unten angegeben.

Die Determinante von A wird machmal als |A| geschrieben, jedoch sollte diese Notation vermieden werden, da sie auch dazu verwendet wird, andere Matrix-Funktionen zu bezeichnen, wie z.B. die Quadratwurzel aus AA^*.

Geschichte und Anwendungen

Historisch gesehen wurden Determinanten bereits vor den Matrizen betrachtet. Ursprünglich war eine Determinante definiert als eine Eigenschaft eines linearen Gleichungssystems. Die Determinante "determiniert", ob das Gleichungssystem eine eindeutige Lösung besitzt (dies ist genau dann der Fall, wenn die Determinante ungleich Null ist). In diesem Zusammenhang wurden 2-mal-2 Matrizen von Cardano Ende des 16. Jahrhunderts und größere von Leibniz ungefähr 100 Jahre später behandelt.

Determinanten werden benutzt, um invertierbare Matrizen zu charakterisieren und um die Lösung eines linearen Gleichungssystems mit Hilfe der Cramerschen Regel explizit auszudrücken. Sie können verwendet werden, um den Eigenwert der Marix A durch das charakteristische Polynom p(x) = det(A-xI_n) herauszufinden.

Man verwendet die Determinante oft um jeder Folge von n Vektoren in Rⁿ eine Zahl zuzuordnen, indem man die quartatische Matrix benutzt, deren Spalten die gegebenen Vektoren sind. Unter dieser Voraussetzung kann das Vorzeichen der Determinante einer Basis dazu verwendet werden, den Begriff der Orientierung in Euklidischen Räumen zu definieren.

Determinanten werden zur Berechnung von Volumen in der Vektorrechnung verwendet: der Absolutwert der Determinante von reellen Vektoren is gleich dem Volumen des Parallelepipeds, das durch diese Vektoren aufgesannt wird. Hieraus folgt, falls die lineare Abbildung f : Rⁿ -> Rⁿ durch die Matrix A repräsentiert wird, und S eine beliebige messbare Teilmenge von Rⁿ ist, dass das Volumen von f(S) durch |det(A)| × Volumen(S) gegeben ist. Allgemeiner gesagt, falls die lineare Abbildung f : Rⁿ -> R^m durch die m-mal-n Matrix A repräsentiert wird, und S eine beliebige messbare Teilmenge von Rⁿ ist, so ist das n-dimensionale Volumen von f(S) gegeben durch √(det(A^TA)) × Volumen(S).

Definition und Berechnung

Angenommen A = (A_i,j) ist eine quadratische Matrix.

Falls A eine 1-mal-1 Matrix ist, dann ist det(A) = A_1,1. Falls A eine 2-mal-2 Matrix ist, dann ist det(A) = A_1,1 · A_2,2 - A_2,1 · A_1,2. Für eine 3-mal-3 Matrix A, ist die Formel komplizierter:

det(A) = A_1,1·A_2,2·A_3,3 + A_1,3·A_3,2·A_2,1 + A_1,2·A_2,3·A_3,1

- A_3,1·A_2,2·A_1,3 - A_1,1·A_2,3·A_3,2 - A_1,2·A_2,1·A_3,3

Für eine allgemeine n-mal-n Matrix, wurde die Determinante von Gottfried Leibniz durch die heute als Leibniz-Formel bekannte Formel definiert:

$\det(A)=\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn} (\sigma )\prod _{i=1}^{n}A_{i,\sigma (i)}$

Die Summe wird über alle Permutationen σ der Zahlen {1,...,n} berechnet und sgn(σ) bezeichnet das Vorzeichen der Permutation σ: +1, falls σ eine gerade Permutation ist und -1, falls ungerade.

Diese Formel enthält n! Summanden und ist somit unhandlich, falls n größer als 3 ist.

Im Allgemeinen können Determinanten mit dem Gauss Algorithmus berechnet werden, unter Verwendung der folgenden Regeln:

• Falls A eine Dreiecksmatrix ist, d.h. A_i,j = 0 für i > j, dann ist det(A) = A_1,1·A_2,2·...·A_n,n
• Falls B sich aus A ergibt, indem man 2 Reihen oder Spalten austauscht, dann ist det(B) = - det(A)
• Falls B sich aus A ergibt, indem man eine Zeile oder Spalte mit der Zahl c multipliziert, dann ist det(B) = c · det(A)
• Falls B sich aus A ergibt, indem man ein Vielfaches einer Zeile oder Spalte zu einer anderen Zeile oder Spalte addiert, dann ist det(B) = det(A).

Beginned mit einer beliebigen Matrix, benutze man die letzten drei Regeln, um die Matrix in eine Dreiecksmatrix zu konvertieren und dann die erste, um die Determinante zu berechnen.

Es ist außerdem möglich eine Determinante entlang einer Reihe oder Spalte zu erweitern, indem man die Laplace-Formel benutzt, die für relativ kleine Matrizen sehr effizient ist. Um dies beispielsweise entlang Zeile i zu tun, schreibt man

$\det(A)=\sum _{j=1}^{n}\ a_{ij}C_{ij}$

wobei $C_{ij}$ den Matrix-Cofaktor repräsentiert.

Eigenschaften

Die Determinante ist eine multiplikative Abbildung in dem Sinne, dass

det(AB) = det(A)det(B)     für alle n-mal-n Matrizen A und B

Es ist einfach zu sehen, dass det(rI_n)=rⁿ und somit

det(rA) = rⁿ det(A)        für alle n-mal-n Matrizen A und alle Skalare r.

Falls A invertierbar ist, dann ist

det(A^-1)=det(A)^-1.

Eine Matrix und ihre Transpostition haben dieselbe Determinante:

det(A) = det(A^T).

Falls A und B ähnlich sind, d.h. falls eine invertierbare Matrix X existiert, so dass A = X^-1BX, dann ist mit der Multiplikativität

det(A) = det(B).

Deswegen kann man die Determinante eine linearen Abbildung f : V -> V definieren (wobei V ein endlich-dimensionaler Vektorraum ist), indem man eine Basis für V wählt, f als Matrix relativ zu dieser Basis beschreibt und die Determinante dieser Matrix nimmt. Das Ergebins ist unabhängig von der gewählten Basis.

Es gibt Matrizen, die die gleiche Determinante haben, aber nicht ähnlich sind.

Falls A eine quadratische n-mal-n Matrix mit reellen oder komplexen Werten ist und falls λ₁,...,λ_n die (komplexen) Eigenwerte von A sind, angeordnet nach ihren algebraischen Mehrfachheiten, dann ist

det(A) = λ₁·λ₂·...·λ_n.

Dies folgt aus der Tatsache, dass A immer ähnlich zu ihrer Jordan Form ist, einer oberen Dreiecks-Matrix mit den Eigenwerten auf der Hauptdiagonalen.

Aus der Verbindung zwischen der Determinanten und den Eigenwerten kann man eine Verbindung zwischen der Spurfunktion, der Exponentialfunktion und der Determinante ableiten:

det(exp(A)) = exp(tr(A)).

Ableitung

Die Determinante von reellen quadratischen Matrizen ist eine Polynomfunktion von R^n×n auf R, und als solche überall differenzierbar. Ihre Ableitung kann mit Hilfe von Jacobi's Formel dargestellt werden:

d det(A) = tr(adj(A) dA)

wobei adj(A) das >>adjugate<< von A bezeichnet. Insbesondere, falls A invertierbar ist, ergibt sich

d det(A) = det(A) tr(A^-1 dA)

oder vereinfacht,

det(A + X) - det(A) ≈ det(A) tr(A^-1 X)

falls die Werte der Matrix X hinreichend klein sind. Der Spezialfall wenn A gleich der Einheitsmatrix I ist, ergibt

det(I + X) ≈ 1 + tr(X).

Verallgemeinerungen

Es macht Sinn, die Determinante für Matrizen zu definieren, deren Einträge von einem kommutativen Ring kommen. Die Regeln zu Berechnung, die Leibniz-Formel und die Kompatibilität mit der Matrix-Muliplikation bleiben gültig, mit der Ausnahme, dass nun eine Marix A genau dann invertierbar ist, falls det(A) ein invertierbares Element des zugrundeliegenden Ringes ist.

Man kann die Determinante wie folgt abstrakt als eine gewisse antisymmetrische multilineare Abblidung definieren : falls R ein kommutativer Ring ist und M = Rⁿ das freie R-Modul mit n Generatoren bezeichnet, dann ist

det : Mⁿ -> R

die eindeutige Abblidung mit den folgenden Eigenschaften:

• det ist R-linear in jedem der n Argumente.
• det ist anti-symmetrisch, d.h. falls zwei der n Argumente gleich sind, so ist die Determinante Null.
• det(e₁,..,e_n) = 1, wobei e_i das Element von M ist, das eine 1 als i-te Koordinate hat und Nullen überall sonst.

Lineare Algebraen bevorzugen den Weg der multilineare Abblidung um die Determinante zu definieren, ,wohingegen Algebraen die Leibniz-Formel bevorzugen.