Einsteinsche Feldgleichungen

Die Entwicklung der Einsteinschen Feldgleichungen basiert auf der Grundidee, die Schwerkraft zu geometrisieren, also alle Eigenschaften der Gravitation und ihrer Wirkung auf physikalische Prozesse mit Hilfe der Eigenschaften eines Riemannschen Raumes abzubilden. Eines der Grundprobleme liegt dann darin: Wie werden die Eigenschaften des Riemannschen Raumes aus einer gegebenen Materieverteilung berechnet?

Dazu kann man folgende "natürliche" Forderungen aufstellen:

1. Die Naturgesetze sollen unabhängig vom Koordinatensystem sein (die Feldgleichungen sollen als Tensorgleichungen beschrieben werden).
2. Wie die anderen Feldgleichungen der Physik sollen partielle Differentialgleichungen höchstens 2. Ordnung für die zu bestimmenden Funktionen aufgestellt werden, die linear in den höchsten vorkommenden Ableitungen sind.
3. Sie sollen zur Poisson-Gleichung der Newtonschen Gravitationstheorie übergehen: ΔU = 4πGμ (U Potential, G Gravitationskonstante, μ Massendichte), sofern geeignete Vernachlässigungen in Betracht gezogen werden.
4. Der Energie-Impuls-Tensor soll die Ursache (Quelle) des Gravitationsfelds sein (als Analogon zur Massendichte in der Speziellen Relativitätstheorie).
5. Im flachen Raum soll der Energie-Impuls-Tensor verschwinden.

Der nachfolgende Text verwendet die geometrische Interpretation der Einsteinschen Theorie.

Die Feldgleichungen lauten mit den oben angegebenen Forderungen:

$R_{\mu \nu }-{\frac {R}{2}}g_{\mu \nu }=-{\frac {8\pi G}{c^{4}}}T_{\mu \nu }$

• G ist das Symbol für die Gravitationskonstante
• c ist das Symbol für die Lichtgeschwindigkeit
• $R_{\mu \nu }$beschreibt die Krümmung der Raumzeit (Riemannscher Krümmungstensor)
• R ist das Symbol für den Krümmungsskalar
• $T_{\mu \nu }$ ist das Symbol für den Energie-Impuls-Tensor
• $g_{\mu \nu }$ repräsentiert den metrischen Tensor der Allgemeinen Relativitätstheorie

Nach der Einsteinschen Theorie bewirkt eine Masse eine Krümmung der Raumzeit (d.h. sowohl des Raumes als auch der Zeit), diese Krümmung macht sich in unserer dreidimensionalen Erfahrungswelt als Gravitation bemerkbar. Die Masse findet sich in der Formulierung der Einsteinschen Feldgleichungen nicht explizit wieder, sie wird durch den Energie-Impuls-Tensor erfasst. Dabei ist zu berücksichtigen, dass Masse und Energie in der Einsteinschen Theorie äquivalent sind, jede Form der Energie induziert schwere Masse (diese bewirkt Gravitation). Der Energie-Impuls-Tensor beinhaltet neben der Massen-Energiedichte (Masse bzw. Energie pro Raumvolumen) weitere Energieformen (z.B. den Druck, den ein Strahlungsfeld ausüben kann).

Die durch $T_{\mu \nu }$ beschriebene Energiedichte bewirkt eine Krümmung der Raumzeit.

Die Krümmung der Raumzeit wird durch $R_{\mu \nu }$ erfasst. R wird aus $R_{\mu \nu }$ abgeleitet.

Bewegungen in der gekrümmten Raumzeit werden durch den metrischen Tensor $g_{\mu \nu }$ bestimmt. Die kürzesten Verbindungslinien in der Metrik heißen Geodäten. Sie bestimmen die Bewegung von Teilchen die nur dem Gravitationsfeld unterworfen sind (d.h. auf die keine weiteren äußeren Kräfte einwirken).

Man erkennt in der Struktur der Gleichungen, dass eine Zunahme der Krümmung $R_{\mu \nu }$ einen höheren Energiegehalt $T_{\mu \nu }$ bewirkt, dieser bewirkt wiederum eine stärkere Krümmung. In diesem Sinne ist die Gleichung nicht linear, eine Zunahme der Krümmung kann z.B. auf Grund kosmischer Bewegungen erfolgen (Kollabieren von Galaxienhaufen). Ein solches Kollabieren endet nicht zwangsläufig in einem schwarzen Loch, zur Beschreibung des finalen Zustandes wird der Virialsatz verwendet.