Beweis der Irrationalität der Wurzel aus 2 bei Euklid

Euklid überlieferte einen Beweis dafür, dass die Quadratwurzel von 2 irrational ist. Der unten angeführte Beweis stammt von Euklid aus Buch X der Elemente. Irrationale Größenverhältnisse waren aber schon dem Pythagoreer Archytas bekannt, der Euklids Satz nachweislich schon in allgemeinerer Form bewies. Das Weltbild der Pythagoreer, die die (natürliche) Zahl als das Maß aller Dinge betrachteten, war durch die Entdeckung der Irrationalität in Frage gestellt.

Ein geometrischer Beweis dafür, dass Diagonale und Seite im Quadrat oder im regelmäßigen Fünfeck keine gemeinsame Maß-Teilstrecke haben können, war bereits etwa 100 Jahre vorher von Hippasos entdeckt worden.

Der zahlentheoretische Beweis Euklids wird indirekt durch Widerspruch geführt.

Beweisführung

Behauptung

Die Quadratwurzel von 2 ist eine irrationale Zahl.

Beweis

Die Beweisführung ist indirekt, d. h. es wird gezeigt, dass die Annahme des Gegenteils zu einem Widerspruch führt (lateinisch: reductio ad absurdum).

Wir nehmen also an, dass die Quadratwurzel von 2 rational ist. In anderen Worten: Es existiert ein Bruch ${\frac {P}{Q}}$ , dessen Quadrat 2 ist.

Falls Zähler und Nenner des Bruchs einen gemeinsamen Teiler haben, kann der Bruch durch diesen Teiler gekürzt werden. Es gibt also zwei teilerfremde, natürliche Zahlen $p$ und $q$ für die gilt:

\left({\frac {p}{q}}\right)^{2}=2

oder umgeformt

p^{2}=2q^{2}

Da die rechte Seite der Gleichung gerade ist, ist auch die linke Seite $p^{2}$ gerade. Daraus folgt, dass bereits die Zahl $p$ gerade ist.

Wir bezeichnen die ganze Zahl $\left({\frac {p}{2}}\right)$ als $r$ und erhalten

2q^{2}=p^{2}=(2r)^{2}=4r^{2}

und hieraus nach der Division durch 2

q^{2}=2r^{2}

.

Mit der gleichen Argumentation wie zuvor folgt, dass $q^{2}$ und damit auch $q$ gerade Zahlen sind.

Der Bruch kann durch 2 gekürzt werden bzw. 2 ist ein gemeinsamer Teiler von $p$ und $q$ . Dies ist ein Widerspruch zu unserer Voraussetzung, dass p und q teilerfremd sind.

Die Annahme, die Behauptung wäre falsch, führt also zu einem Widerspruch. Damit ist die Behauptung richtig und der Beweis ist abgeschlossen.