Vierervektor

Ein Vierervektor ist ein Vektor mit 4 Komponenten, in dessen Definition die Lorentztransformation eingeht. Ein Vierervektor ist ein Tensor 1. Stufe.

Lorentztransformationen geben an, wie bestimmte Ereignisse von einem ruhenden im Vergleich mit einem bewegten Beobachter gesehen werden, z.B. sind die Zeitdilatation und die Längenkontraktion das Ergebnis von Lorentztransformationen. Der Bereich, in dem sich ein Beobachter befindet, wird auch als Bezugssystem bezeichnet.

Bezugssysteme sind z.B. die Erde oder ein Raumschiff, das sich relativ zur Erde bewegt. Es kann sich aber auch um ein Labor und ein Elektron handeln, das in diesem Labor eine kreisförmige Bahn beschreibt.

Im folgenden wird gezeigt, wie ein Vierervektor in verschiedenen Bezgssystemen dargestellt wird, und wie diese Darstellungen mit der Lorentztransformation zusammenhängen.

Anschließend werden Beispiele von Vierervektoren angegeben.

Seien S und $S'$ Intertialsysteme. Man kann sich so ein Inertialsystem vereinfacht als eine Plattform vorstellen, die sich mit konstanter Geschwindigkeit durch den (leeren) Raum bewegt. Auf jeder dieser Plattformen befindet sich ein Beobachter. Ein Ort auf der Plattform werde durch die Koordinaten x,y, eine bestimmte Höhe durch die Koordinate z beschrieben. Der Beobachter hat eine Uhr, die die verstrichene Zeit t misst.

Man betrachte z.B. die Bewegung eines Zuges. Relativ zum Zug befindet sich ein Reisender in Ruhe. Relativ zum Reisenden bewegen sich der Bahndamm und die Wagen eines stehenden oder fahrenden Zuges auf dem Parallelgleis (wenn der parallel sich bewegende Zug nicht gerade die gleiche Richtung fährt und die gleiche Geschwindigkeit hat).

Ereignisse im Zug finden zu einer bestimmten Zeit an einem bestimmten Ort statt, d.h. sie werden durch die drei Ortskoordinaten x,y,z und eine Zeitkoordinate t beschrieben (z.B. das Anschalten einer Lampe).

Die folgende Beschreibung abstrahiert von den angegebenen Beispielen und betrachtet nur noch 2 Inertialsysteme S und $S'$ die sich mit konstanter Geschwindigkeit v gegeneinander bewegen.

Das System S wird als ruhend betrachtet.

Ereignisse in S werden durch die Ortskoordinaten x,y,z und die Zeitkoordinate t beschrieben.

Ereignisse in $S'$ werden durch "gestrichene Größen" bezeichnet, durch die Ortskoordinaten $x',y',z'$ und die Zeitkoordinate $t'$

Ein Vierervektor in S sieht dann folgendermaßen aus: $(u^{k})=(u^{0},u^{1},u^{2},u^{3})$ (kontravariante Darstellung)

und ein Vierervektor in $S'$: $(u'^{k})=(u'^{0},u'^{1},u'^{2},u'^{3})$

$(u'^{k})$ und $(u^{k})$ sind genau dann Vierervektoren, wenn sie durch Lorentztransformation auseinander hervorgehen.

Ortsvektor

Der Ortsvektor beinhaltet sowohl die Zeitkoordinate t als auch die Raumkoordinaten x,y,z eines Ereignisses.

In kontravarianter Darstellung sieht er folgendermaßen aus: $(x^{k})=(ct,x,y,z)$ und in kovarianter Darstellung: $(x_{k})=(ct,-x,-y,-z)$

Man verwendet die Darstellung ct anstatt t für die Zeitkoordinate, da dann ct und x,y,z die gleiche physikalische Dimension haben.