Topologische Gruppe

In der Mathematik ist eine topologische Gruppe eine Gruppe G, die mit einer Topologie so versehen ist, dass die Gruppenverknüpfung G × G -> G und die Inversenabbildung G -> G stetige Abbildungen sind. G × G wird dabei mit der Produkttopologie versehen.

Fast alle Objekte, die in der Analysis untersucht werden, sind topologische Gruppen (meist bezüglich einer Addition).

Beispiele

Die reellen Zahlen R mit der Addition und der gewöhnlichen Topologie bilden eine topologische Gruppe. Allgemeiner ist der n-dimensionale euklidische Raum Rⁿ mit der Vektoraddition und der Standard-Topologie eine topologische Gruppe. Auch jeder Banachraum und Hilbertraum ist eine topologische Gruppe.

Die obigen Beispiele sind alle abelsch. Wichtige Beispiele nichtabelscher topologischer Gruppen sind die Lie-Gruppen, z.B. die Gruppe GL(n,R) aller invertierbaren reellen n-mal-n-Matrizen. Die Topologie entsteht dabei, indem man diese Gruppe als Teilmenge des euklidischen Vektorraums R^n×n auffasst.

Ein Beispiel einer topologischen Gruppe, die keine Lie-Gruppe ist, bildet die additive Gruppe der rationalen Zahlen Q (sie ist eine abzählbare Menge die nicht mit der diskreten Topologie versehen ist). Ein nichtabelsches Beispiel ist die Untergruppe der Drehgruppe des R³, die erzeugt wird von zwei Drehungen um irrationale Vielfache von Pi um verschiedene Achsen.

In jeder unitären Banach-Algebra bildet die Menge der invertierbaren Elemente mit der Multiplikation eine topologische Gruppe.

Eigenschaften

Ist a ein Element einer topologischen Gruppe G, dann sind die Linksmultiplikation und die Rechtsmultiplikation mit a Homöomorphismen von G nach G.

(Anm. des Übersetzers: Ich muss zugeben, dass ich von den meisten der Beispiele keine Ahnung habe, insbesondere von Lie-Gruppen, und deshalb für die Richtigkeit dieser Übersetzung absolut keine Garantie geben kann. Den Rest der Eigenschaften kann man im englischen Originaltext nachlesen, da ich mir diesen Teil nicht zutraue.)