Klassische Losformel

Die Andler-Formel (nach Kurt Andler 1929), auch Losgrößenformel ist eine in der Betriebswirtschaftslehre verbreitete Formel zur Ermittlung der optimalen Bestellmenge. Die Andler-Formel ist auch unter den Namen klassische Bestellmengenformel nach Harris oder kurz Harris-Formel (nach Ford W. Harris, 1913) bekannt.

Grundlegende Annahmen und Definitionen

Verlauf des Lagerzugangs und -abgangs

Die optimale Bestellmenge liegt dort vor, wo die Summe aller kontrollierbaren Kosten, also aus Beschaffungskosten und Lagerkosten, ein Minimum erreicht.

1. Es wird genau ein Produkt in genau einem Lager betrachtet
2. Es sind keine Fehlmengen zugelassen.
3. Wir betreiben ein unendlich großes Lager mit unendlich großer Lagerkapazität.
4. Wir haben einen kontinuierlichen und gleichmäßigen Lagerabgang mit der Rate $d$.
5. Der Lagerzugang geschieht in bestellten Losen der Größe $q$ durch Produktion mit der Rate $x$.
6. Die Lagerauffüllung verursacht losfixe Kosten $C_{R}$.
7. Der Lagerhaltungskostensatz $C_{L}$ ist konstant
8. Es werden keine Qualitäts- oder Zeitziele beachtet.

Prinzip

(Anmerkung: Zur besseren Lesbarkeit des Artikels wird im folgenden der analoge Bestellfall nicht mehr explizit genannt, sondern es wird nur noch vom Produktionsfall gesprochen.)

Die Losgröße wird berechnet nach:

$q=T\cdot d$

wobei:

• $q$ die Losgröße
• $T$ die Reichweite oder das Bestellintervall ist
• und $d$ die Abgangsrate ist.

Das betriebswirtschaftliche Ziel ist es (bei bekannten $d$) $q$ und $T$ so zu wählen, dass die Summe aus bestellfixen Kosten und den variablen Lagerhaltungskosten minimal wird. Dazu gliedert man die Reichweite $T$ auf in:

1. den Produktionszyklus $T_{1}$ Hier wird mit einer Rate $x$ produziert. Die Auffüllrate des Lagers $r$ ist $r=x-d$
2. den Lagerabgangzyklus $T_{2}$ mit der Abgangsrate $d$. Es gilt $T_{2}=T-T_{1}$

Die Kostenfunktion ist eine Summe aus den losfixen Kosten und den variablen Lagerhaltungskosten.

$K=C_{R}+C_{L}\cdot T\cdot {L \over 2}$

wobei $L \over 2$ den durchschnittlichen Lagerbestand darstellt.

$mit:\quad L=q\cdot \left(1-{d \over x}\right)$
$gilt:\quad K=C_{R}+C_{L}\cdot T\cdot {q \over 2}\cdot \left(1-{d \over x}\right)$

Um die Kosten pro Zeit ($k$) zu erhalten, wird durch $T$ geteilt und $T={q \over d}$ eingesetzt.

$k={C_{R}\cdot d \over q}+C_{L}\cdot {q \over 2}\cdot \left(1-{d \over x}\right)$

Nun ist das Minimum dieser Funktion zu bestimmen.

${dk \over dq}=-{C_{R}\cdot d \over q^{2}}+{C_{L} \over 2}\cdot \left(1-{d \over x}\right)=0$

Durch einfache Umformung erhält man die optimale Losgröße $q_{o}$

$q_{o}={\sqrt[{2}]{2\cdot C_{R}\cdot d \over C_{L}\cdot \left(1-{d \over x}\right)}}$

Durch einsetzen von $q_{o}$ in die zweite Ableitung wird überprüft, ob ein lokaler Tiefpunkt vorliegt. Mit Hilfe von $q_{o}=T_{o}\cdot d$ lässt sich das optimale Bestellintervall berechnen.

Formel

Die Formel zur Berechnung der optimalen Bestellmenge lautet $Q^{o}={\sqrt {{2\times B\times x} \over {e\times i}}}$

$x$: Gesamtbedarf für die Rechnungsperiode (ein Jahr)

$B$: fixe Bestellkosten, (Transportkosten), Kosten je Bestellung

$e$: Einstandspreis, Einkaufspreis, Einkaufskosten

$i$: Lagerkostenzinssatz

Beispiel

$x$ = 2.400 Stück/Jahr

$B$ = 100 €

$e$ = 40 €

$i$ = 20 %

Die Andler-Formel für die optimale Bestellmenge ermittelt nun folgenden Wert:

$Q^{o}={\sqrt {{2\times 100\times 2.400} \over {40\times 0,2}}}$ = 244,95 ≈ 245 Stück

Bewertung und Grenzen

Die Andler-Formel dient nur zur Orientierung. Praktisch würde sie nur Anwendung finden, wenn ein stetiger Verbrauch und Verkauf stattfindet. Dies ist in der Realität praktisch nie der Fall. Die Formel hat daher eher Lehrbuchcharakter als einen praktischen Nutzen.

Das klassische Losgrenzenmodell ist in seiner Anwendung durch die strengen und sehr praxisfernen Annahmen, die getroffen wurden, stark begrenzt. Daher wurden verschiedene weitergehende Modelle entwickelt.

Das Modell ist speziell an die Prämisse des konstanten Abganges der Produkte gebunden.

Literatur

• Kurt Andler: Rationalisierung der Fabrikation und optimale Losgrösse. München: R. Oldenbourg, 1929
• Harris, F. W. 1913. "How Many Parts to Make at Once." Factory: The Magazine of Management 10(2): 135-136,152. Also reprinted in Operations Research 38(6): 947-950,1990.