Intervall (Musik)

Vorlage:MusikalischeIntervalle Unter einem Intervall (griechisch: διάστημα = lateinisch: intervallum = Zwischenraum) versteht man heute in der Musik den Höhenunterschied zwischen zwei gleichzeitig oder nacheinander erklingenden Tönen. Der Begriff bezeichnet demnach eine Größe mit der Oktave als Einheit; diese Größe tritt als Tonabstand oder Tondifferenz in Tonstrukturen auf. Der Begriff bezeichnet zudem ein abgeschlossenes Intervall von Tönen in Tonsystemen.

Geschichte

Die älteste Definition des Intervalls stammt von Aristoxenos. Er definierte es als abgeschlossenes Intervall einer mit „höher“ linear geordneten Tonmenge und ordnete jedem solchen Intervall eine Größe zu. Diese Intervallgrößen wurden später ebenfalls kurz als Intervalle bezeichnet, so dass der Begriff doppeldeutig wurde. Diese spätere zweite Bedeutung ist heute die Hauptbedeutung. Konkrete Intervalle gebrauchten vor Aristoxenos schon die Pythagoreer und charakterisierten sie durch Proportionen, die sich aus Verhältnissen von Saitenlängen ergeben wie bei Philolaos. Euklid fasste die Proportion auch als Frequenzverhältnis auf, allerdings noch hypothetisch, da erst in der Neuzeit die Frequenzmessung entwickelt wurde. Die Umrechnung additiver musikalischer Intervalle in multiplikative akustische Proportionen funktioniert nach einer Isomomorphie-Regel, die schon Philolaos anwandte. Sie wurde in der Neuzeit optimiert, und zwar kurz nach 1585 von Simon Stevin durch eine Exponentialfunktion und um 1640 von Bonaventura Francesco Cavalieri und Juan Caramuel y Lobkowicz durch die logarithmische Umkehrfunktion.

Stimmungen

Wichtige Intervalle mit einfachen Proportionen haben eine hörbare Charakteristik und werden trotz leichter Verstimmungen erkannt. Deshalb erscheinen sie unter demselben Namen in verschiedenen Stimmungen. In der idealen reinen Stimmung erklingen sie auf einen Grundton bezogen optimal, sind dann aber nur von diesem Grundton aus und nur begrenzt zu verwenden, z. B. schränken sie harmonische Möglichkeiten drastisch ein. Daher sind sogenannte Temperaturen mit kleinen Verstimmungen üblich, etwa zwölfstufige Temperaturen oder in der Renaissance und im Barock die mitteltönige Stimmung. Bei solchen Temperaturen werden die kleinen Intervalle der Kommata, wie beispielsweise des pythagoreischen Kommas oder des syntonischen Kommas quasi gleich Null gesetzt und auf andere Intervalle gleichmäßig (z. B. bei der Gleichstufigen Stimmung) oder ungleichmäßig (z. B. bei der mitteltönigen Stimmung) verteilt. Spezielle Stimmungen werden mit kennzeichnenden Spezialintervallen beschrieben, beispielsweise mit Diesis, Schisma, Wolfsquinte, Ditonus, Limma oder Apotome.

Diatonische Intervalle

Im Lauf der Geschichte entstanden verschiedenartigste Tonsysteme mit einer verwirrenden Vielfalt konkreter Intervalle, über die nur ein grober Überblick gegeben werden kann. Folgende Tabelle listet wichtige diatonische Intervalle auf, deren lateinische Ordinalzahl-Namen von den Stufen diatonischer Tonleitern abgeleitet sind: Prime, Sekunde, Terz, Quarte, Quinte, Sexte, Septime, Oktave. Die Namen bezeichen jeweils eine Intervallklasse, deren Intervalle durch Beinamen unterschieden werden, nämlich bei der Sekunde, Terz, Sexte und Septime durch „groß“ und „klein“. Der Beiname „übermäßig“ bedeutet bei der reinen Prime, Quarte, Quinte, Oktave und großen Intervallen eine Addition eines chromatischen Halbtons; der Beiname „vermindert“ bezeichnet bei reinen und kleinen Intervallen die Subtraktion eines chromatischen Halbtons. Die diatonischen Intervalle haben in reiner Stimmung noch unterschiedliche Proportionen, werden aber im zwölfstufig temperierten Tonsystem auf Vielfache des exakten Halbtons mit 100 Cent abgebildet, wobei die Intervallklassen aber nicht erhalten bleiben.

Intervall	Proportionen	Spezialnamen	Näherung	zwölfstufig
Prime	1:1	reine Prime	0 Cent	0 Cent
übermäßige Prime	25:24 135:1	kleiner chromatischer Halbton großer chromatischer Halbton	71 Cent 92 Cent	100 Cent
kleine Sekunde	256:243 16:15	Leimma diatonisch-rein	90 Cent 112 Cent	100 Cent
große Sekunde	10:9 9:8	kleiner Ganzton großer Ganzton	182 Cent 204 Cent	200 Cent
kleine Terz	6:5	reine kleine Terz	316 Cent	300 Cent
große Terz	5:4	reine große Terz	386 Cent	400 Cent
Quarte	4:3	reine Quarte	498 Cent	500 Cent
übermäßige Quarte	45:32 7:5 729:512	diatonisch-rein Huygens Tritonus	590 Cent 582 Cent 612 Cent	600 Cent
verminderte Quinte	64:45 10:7	diatonisch-rein Euler	610 Cent 617 Cent	600 Cent
Quinte	3:2	reine Quinte	702 Cent	700 Cent
kleine Sexte	8:5	reine kleine Sexte	814 Cent	800 Cent
große Sexte	5:3	reine große Sexte	884 Cent	900 Cent
kleine Septime	16:9 7:4	diatonisch-rein Naturseptime	996 Cent 986 Cent	1000 Cent
große Septime	15:8	diatonisch-rein	1088 Cent	1100 Cent
Oktave	2:1	reine Oktave	1200 Cent	1200 Cent

Die sogenannte Umkehrung der tabellierten diatonischen Intervalle entsteht als Differenz zur Oktave; bei der Umkehrung bleiben reine Intervalle rein, kleine und große und ebenso verminderte und übermäßige werden vertauscht.

Konsonanzen und Dissonanzen

Es gibt konsonante, wohlklingende und dissonante, weniger wohlklingende Intervalle. Welche Intervalle konsonant und welche dissonant galten, schwankt kulturell und historisch: In der Antike und im Mittelalter galten im abendländischen Bereich nur die Oktave, Quinte und Quarte als konsonant. Im Spätmittelalter und der Renaissance kamen die große und kleine Terz und Sexte zu den Konsonanzen hinzu. Der Gebrauch der Dissonanzen wurde immer weiter ausgeweitet; schon im Spätbarock und der Klassik wurde die kleine Septime fast zum konsonanten Intervall. Diese Tendenz verstärkte sich in der Romantik und Spätromantik und im Jazz.

Hörbeispiele

Hörbeispiele mit einer Synthesizer-Streicherstimme
n Halbtöne	Intervall	steigend	fallend
1	kleine Sekunde	C-Des	C-H
2	große Sekunde	C-D	C-B
3	kleine Terz	C-Es	C-A
4	große Terz	C-E	C-As
5	Quarte	C-F	C-G
6	Tritonus	C-Fis	C-Ges
7	Quinte	C-G	C-F
8	kleine Sexte	C-As	C-E
9	große Sexte	C-A	C-Es
10	kleine Septime	C-B	C-D
11	große Septime	C-H	C-Des
12	Oktave	C1-C2	C-C

Merkhilfen

Mit Melodieanfängen lassen sich Intervalle leicht „ins Ohr rufen“. Die Wirkung derselben Intervalle ist abhängig vom Tongeschlecht (Dur und Moll) und der Position in der Tonleiter.

Intervall	steigend	fallend
übermäßige Prime = chromatischer Halbton	Scott Joplin: The Entertainer	?
kleine Sekunde = diatonischer Halbton	Kommt ein Vogel geflogen	Vom Himmel hoch, da komm ich her (Mendelssohn) Beethoven:Für Elise
große Sekunde	Alle meine Entchen	Schlaf, Kindlein, schlaf
kleine Terz	Ein Vogel wollte Hochzeit machen Macht hoch die Tür	Hänschen klein Kuckuck, Kuckuck, ruft's aus dem Wald
große Terz	Oh, when the saints go marching in Alle Vögel sind schon da	Swing low, sweet chariot Nun ruhen alle Wälder (Dur) Beethovens Schicksalssinfonie: G-G-G-Es (Moll)
Quarte	O Tannenbaum Wir kamen einst von Piemont Love Me Tender (Elvis Presley)	Morgen, Kinder, wird's was geben Auf, du junger Wandersmann
Tritonus	Maria (West Side Story) Titelmelodie von Die Simpsons („The Simp-sons“)	In „Kommt ein Vogel geflogen“: …von der Mut-ter einen Gruß
Quinte	Wach auf, meins Herzens Schöne Morgen kommt der Weihnachtsmann (C-C-G-G)	On a wagon (Donna donna) Ick heff mol en Hamburger Veermaster sehn
kleine Sexte	When Israel was in Egypt's land	Schicksalsmelodie
große Sexte	Dies Bildnis ist bezaubernd schön Ein Prosit der Gemütlichkeit Arrivederci Roma Go West (Village People) My Bonnie is over the ocean	Nobody knows the trouble I've seen Winde weh'n, Schiffe geh'n
kleine Septime	There's a place for us (Somewhere aus West Side Story) Zogen einst fünf wilde Schwäne (Refrain: „Sing, sing“)	In "Bunt sind schon die Wälder": …und der He−erbst be−ginnt
große Septime	?	?
Oktave	Somewhere over the rainbow	Mainzer Narrhallamarsch

Dennoch ist diese Methode, sich musikalische Intervalle mit Hilfe von Liedanfängen einzuprägen, mit einer gewissen Vorsicht anzuwenden. Das liegt daran, dass dieselben Intervalle eine unterschiedliche Wirkung haben, je nachdem in welchem Tongeschlecht und an welcher Position der Tonleiter sie stehen. Beispiel: die kleine Terz E-G innerhalb C-Dur (z. B. Olé, olé, olé), klingt fröhlich und nicht nach Moll, im Gegensatz zur selben kleinen Terz E-G innerhalb der Tonart e-Moll. Die große Terz, die normalerweise als „heiter“ gilt, klingt abwärts gespielt - zum Beispiel als Beginn von Beethovens „Schicksalssinfonie“ (G-G-G-Es) - „düster-verheißungsvoll“.

Mathematische Definition

Intervalle im Sinn einer Größe werden zwischen zwei beliebigen Tönen gebildet, sie können bei harmonischen Intervallen gleichzeitig erklingen oder bei melodischen Intervallen aufeinander folgen oder zeitlich ungeordnet sein. Die historische Tonsystemtheorie bevorzugt positive Intervalle als Tonabstände. Negative Intervalle bei Tondifferenzen spielen beim Transponieren eine Rolle und wurden in der Kanontechnik des Mittelalter schon gebraucht, ebenso die Prime (unisonus) als Nullintervall zwischen gleichhohen Tönen. Den üblichen Gebrauch regeln folgende Vereinbarungen, wobei das Einheitensymbol „O“ für die Oktave nicht mit einer Null verwechselt werden darf. Für die Prime wird „P“ verwendet:

Es gilt:

\Delta _{P}=0\,\mathrm {O}

\Delta _{O}=1\,\mathrm {O}

-\Delta

bezeichnet das „Unter“-Intervall. Beispiel: Unteroktave = - Oktave.

Die Tondifferenz $\Gamma -\Delta$ bezeichnet in Tonstrukturen das Intervall von $\Gamma$ zu $\Delta$ ; für sie gilt die lineare Metrikregel: $(\Gamma -\Pi )+(\Pi -\Delta )=\Gamma -\Delta$ .

Der Tonabstand $\left|\Gamma -\Delta \right|$ bezeichnet den Betrag der Tondiffernz $\Gamma -\Delta$ . Er ist nie negativ.

Mit Intervallen im Sinn von Tondifferenzen hängen die Tonhöhenrelation höher, tiefer, gleichhoch zusammen, ferner auch Schritte in Tonfolgen und Tonleitern. Diese Begriffe sind in Tonstrukturen bereits genau definiert.

Für Intervalle gilt auf der additiven musikalischen Ebene das alltägliche Rechnen mit Größen. Hierher gehören die Aristoxenos-Intervallgrößen: Ton im Sinn von Ganzton, Halbton, Drittelton, Viertelton, n-telton, jeweils in der ursprünglichen exakten Bedeutung, außerdem auch der Cent als moderne Intervalleinheit zur Näherung der Intervalle.

Den Intervallgrößenbereich kann man als Tonhöhenraum auffassen, in dem Intervalle als Vektoren und Tonhöhen als Punkte betrachtet werden. Der Größenbereich wird dann auf natürliche Weise zur Tonstruktur durch die dort gegebene Differenz (sie erfüllt offenkundig die lineare Metrikregel). Als Zentraltonhöhe kann jeder beliebige Tongewählt werden. Seine konkrete Frequenz wird mit $f_{P}$ bezeichnet.

Proportionen

Im akustisch motivierten pythagoreischen Denken werden Intervalle durch Verhältnisse von Saitenlängen oder Frequenzen charakterisiert, die als Proportionen bezeichnet werden. Die umkehrbare Umrechnung über die additiv-multiplikative Isomorphie wird über die Exponentialfunktion und den Logarithmus zur Basis 2 definiert, so dass Intervalle durch die Proportion definierbar sind:

p=\mathrm {Proportion} (\Delta )=2^{\Delta /\mathrm {O} }

\Delta =\mathrm {Intervall} (p)=\log _{2}(p)\mathrm {O}

Auch lassen sich einige spezielle Intervall gesondert betrachten, woraus folgt:

Wichtige Intervalle
Intervallname	Proportion	Intervall	Näherung in Cent
Prim (P)	$p_{P}=1:1$	$\Delta _{P}=\mathrm {Intervall} (p_{P})=\mathrm {Intervall} (1)=0\,\mathrm {O}$	0 Cent
Oktave (O)	$p_{O}=2:1$	$\Delta _{O}=\mathrm {Intervall} (p_{O})=\mathrm {Intervall} (2)=1\,\mathrm {O}$	1200 Cent
reine Quinte (Q)	$p_{Q}=3:2$	$\Delta _{Q}=\mathrm {Intervall} (p_{Q})=\mathrm {Intervall} (3:2)$	702 Cent
reine große Terz (T)	$p_{T}=5:4$	$\Delta _{T}=\mathrm {Intervall} (p_{T})=\mathrm {Intervall} (5:4)$	386 Cent

Aus diesen Definition folgen einige Isomorphie-Regeln:

\mathrm {Proportion} (\Gamma +\Delta )=\mathrm {Proportion} (\Gamma )\cdot \mathrm {Proportion} (\Delta )

\mathrm {Proportion} (\Gamma -\Delta )=\mathrm {Proportion} (\Gamma ):\mathrm {Proportion} (\Delta )

\mathrm {Intervall} (\mathrm {Proportion} (\Delta ))=\Delta

\mathrm {Proportion} (\mathrm {Intervall} (p))=p

Physikalische Zusammenhänge

Die akustischen Bedeutungen der Proportion als Frequenzverhältnis oder Saiten-Längenverhältnis sind im Tonhöhenraum ebenfalls definierbar. Als Zentraltonhöhe gilt hier der Ton c¹, dessen Frequenz hier mit $f_{P}=264\,\mathrm {Hz}$ angenommen wird:

\mathrm {Frequenz} (\Delta )=\mathrm {Proportion} (\Delta )\cdot f_{P}=\mathrm {Proportion} (\Delta )\cdot 264\,\mathrm {Hz}

\mathrm {L{\ddot {a}}nge} (\Delta )=\mathrm {Proportion} (S-\Delta )\cdot L

für ein Saite S der Länge L

Aus diesen Definitionen ergeben sich Intervallproportionen als Längenverhältnisse oder reziproke Frequenzverhältnisse:

\mathrm {Proportion} (\Gamma -\Delta )=\mathrm {Frequenz} (\Delta ):\mathrm {Frequenz} (\Gamma )=\mathrm {L{\ddot {a}}nge} (\Gamma ):\mathrm {L{\ddot {a}}nge} (\Delta )

Siehe auch

Literatur

Sigalia Dostrovsky und John T. Cannon: Entstehung der musikalischen Akustik [1600-1750). In: Frieder Zaminer (Hrsg.): Geschichte der Musiktheorie. Bd. 6. Darmstadt 1987 S. 7-79, ISBN 3-534-01206-2
Mark Lindley: Stimmung und Temperatur. In: Frieder Zaminer (Hrsg.): Geschichte der Musiktheorie. Bd. 6. Darmstadt 1987 S. 109-332, ISBN 3-534-01206-2
Wilfried Neumaier: Was ist ein Tonsystem?. Frankfurt am Main, Bern, New York 1986, ISBN 3-8204-9492-8

Weblinks