Freie Wahrscheinlichkeitstheorie

Die freie Wahrscheinlichkeitstheorie ist ein Teilgebiet der Mathematik, das 1985 von Dan Voiculescu begründet wurde. Die freie Wahrscheinlichkeitstheorie kann als eine nicht-kommutative Verallgemeinerung der klassischen Wahrscheinlichkeitstheorie angesehen werden.

Definition: (nicht-kommutativer Wahrscheinlichkeitsraum)

Ein nicht-kommutativer Wahrscheinlichkeitsraum ist ein Tupel $(A,\varphi )$ bestehend aus einer unitalen $\mathbb {C}$-Algebra $A$ und einem linearen Funktional $\varphi$ mit $\varphi (1)=1$.

Man kann die Elemente in der Algebra $A$ als verallgemeinerte Zufallsvariablen ansehen.

Freiheit (freeness)

An die Stelle der stochastischen Unabhängigkeit tritt in der freien Wahrscheinlichkeitstheorie der Begriff der Freiheit oder freien Unabhängigkeit (freeness) auf, der wie folgt definiert ist:

Definition: (freie Unabhängigkeit)

Sei $I$ eine beliebige Indexmenge und $A_{i}i\in I$ unitale Unteralgebren von $A$. Dann heißen die $A_{i}$ frei (oder frei unabhängig), falls gilt: $\varphi (a_{1}a_{2}...a_{k})=0$ für alle $k\in \mathbb {N}$ und alle $a_{j}\in A_{i(j)}$ wobei der Index j von 1 bis k läuft und zusätzlich $\varphi (a_{j})=0$ und $i(1)\neq i(2)\neq ...\neq i(k)$ gelten muss. Dies bedeutet, dass benachbarte Elemente nicht aus der gleichen Unteralgebra stammen und, dass die Elemente jeweils zentriert sind.

Man beachte, dass in der klassichen Wahrscheinlichkeitstheorie Zufallsvariablen genau dann frei unabhängig sind, wenn sie konstant sind. Daher ist freie Unabhängigkeit nicht analog zu sehen zu stochastischer Unabhängigkeit.

Insbesondere lassen sich Sätze wie der zentrale Grenzwertsatz in der freien Wahrscheinlichkeitstheorie ebenfalls beweisen.

Literatur

• A. Nica, R. Speicher: Lectures on the Combinatorics of Free Probability. Cambridge University Press, 2006, ISBN 0-521-85852-6