Dichteoperator

In der Physik beschreibt man mit einer Dichtematrix, einen Quantenzustand, über den man nicht die maximal mögliche Kenntniss besitzt.

Betrachten wir ein Quantenmechanisches System, welches durch ein Hilbertraum H beschreibar ist. Ein beschränkter linearer Operator $\rho$ auf H ist eine Dichtematrix, wenn gilt:

1. er ist hermitesch
2. er ist positiv definit
3. er ist Spurklasse mit Spur gleich 1

Die Menge alle Dichtematrizen ist eine konvexe Menge, deren Extrempunkte den reinen quantenmechanischen Zustaenden entsprechen.

Sei |Ψ〉 ein reiner Zustand, so ist der Projektionsoperator

$\rho _{T}=|\Psi \rangle \;\langle \Psi |$.

die zugehoerige Dichtematrix.

Entropie

Die Entropie zu einer Dichtematrix ρ lautet.

$S=-k{\hbox{Tr}}\left(\rho \ln {\rho }\right)$

wobei k die Boltzmannkonstante ist, und die Spur über dem Raum H genommen ist, in dem ρ operiert.

Die Entropie jedes reinen Zustands ist offensichtlich Null, denn es herrscht ja keine Unsicherheit über den Zustand des Systems.

Man kann zeigen, dass unitäre Operatoren angewendet auf einen Zustand (wie der aus der Schrödinger-Gleichung gewonnene Zeitentwicklungsoperator) die Entropie des System nicht ändern. Das verbindet die Reversibilität eines Prozesses mit seiner Entropieänderung - ein fundamentales Ergebnis, das die Quantenmechanik mit der Informationstheorie und der Thermodynamik verbindet.

Ensembles

Mit Dichtematrizen kann man auch Ensembles, oder eine Menge identischer Quantensysteme beschreiben.

Man stelle sich einen geschlossenen Apparat vor, der auf einen Beobachter zu Elektronen schießt. Die Hilberträume der Elektronen sind identisch. Der Apparat könnte Elektronen erzeugen, die alle denselben Zustand haben - in diesem Fall werden die beim Beobachter ankommenden Elektronen ein reines Ensemble genannt.

Allerdings könnten auch Elektronen in verschieden Zuständen erzeugt werden, zum Beispiel könnten sie aus zwei Gruppen stammen: Eine mit dem Zustand |z+〉 (Spin in positiver z-Richtung ausgerichtet), die andere mit dem Zustand |y-〉 (Spin in negativer y-Richtung). Allgemein kann es eine beliebige Anzahl von Gruppen mit jeweils einem anderen Zustand geben: Ein gemischtes Ensemble.

Ein Ensemble kann als eine Menge von Gruppen mit dem Gewicht w_i und den entsprechenden Zuständen |α_i〉 beschrieben werden. Die Dichtematrix des Ensembles ist definiert durch

$\rho =\sum _{i}w_{i}|\alpha _{i}\rangle \langle \alpha _{i}|$.

Alle genannten Ergebnisse für die Quantenentropie und Dichtematrizen gelten auch für diese Definition. Dadurch und durch die Viele Welten Interpretation motiviert glauben viele Physiker heutzutage, dass alle gemischten Ensembles als verschränkte Quantenzustände erklärt werden können.

Das Vakuum der Quantenfeldtheorie ist auch stark verschränkt - Verschränkung betrifft nicht nur Teilchen (siehe auch Reeh-Schlieder-Theorem).