Klein-Gordon-Gleichung

Die Klein-Gordon-Gleichung war der erste Versuch einer Wellengleichung zur Beschreibung einer relativistischen Quantenmechanik. Sie beschreibt das Verhalten von Teilchen mit dem Spin 0 wie etwa manche Mesonen.

Entsteht die Schrödingergleichung durch kanonische Quantisierung des klassischen Energieerhaltungssatzes, so entsteht die Klein-Gordon-Gleichung durch analoge Quantisierung der entsprechenden relativistischen Beziehung:

$E_{rel}={\sqrt {m_{0}^{2}c^{4}+p^{2}c^{2}}}$

Diese wird mittels der Umdeutung der Messgrößen der klassischen Mechanik in Operatoren der Quantenmechanik, zur Klein-Gordon-Gleichung, folgendermaßen ungeformt:

$E\rightarrow i\hbar {\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\;\;\;\;p\rightarrow {\frac {\hbar }{i}}\nabla$

$\left(\Delta -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-{\frac {m_{e}^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}\right)|\psi ({\vec {r}},t)\rangle =0$

Allerdings bringt die Interpretation der Lösungen dieser Gleichung Probleme mit sich, denn es treten auch Lösungen mit negativer Energie auf. Dieses Problem versuchte Paul Dirac durch Formulierung der Dirac-Gleichung zu lösen, die man in gewisser Weise als 'formale Quadratwurzel' der Klein-Gordon-Gleichung auffassen kann. Sie erwies sich als korrekt für alle Teilchen mit Spin 1/2 wie Elektronen oder Quarks.