Cauchy-Folge

In der Mathematik ist eine Cauchy-Folge eine spezielle, vor allem in der Analysis verwendete Art von Folgen. Sie sind nach dem französischen Mathematiker Augustin Louis Cauchy benannt.

Cauchy-Folgen werden zuweilen auch als fundamentale Folgen, konzentrierte Folgen oder in sich konvergente Folgen bezeichnet.

Cauchy-Folgen in einer Menge $X$ können nur definiert werden, wenn auf $X$ eine Metrik $d$ vorhanden ist. Das Paar $(X,d)$ wird dann als metrischer Raum bezeichnet. Die Menge der reellen Zahlen mit dem gewöhnlichen Abstand $d(x,y)=|x-y|$ (siehe absoluter Betrag) ist zum Beispiel ein metrischer Raum.

Definition

Sei $(X,d)$ ein metrischer Raum. Eine Folge $(x_{i})_{i\in \mathbb {N} }$ in $X$ heißt Cauchy-Folge, wenn gilt:

$\forall \varepsilon >0\ \exists N\in \mathbb {N} \ \forall n,m\in \mathbb {N} :\ n>N,m>N\implies d(x_{m},x_{n})<\varepsilon$

Das bedeutet: Zu jedem reellen $\varepsilon >0$ gibt es eine natürliche Zahl $N$ (Index), so dass für alle natürlichen Zahlen $n,m>N$ gilt: $d(x_{m},x_{n})<\varepsilon$. Geometrisch verständlicher ist die Formulierung:

Für jeden Radius $\varepsilon >0$, und sei er noch so klein, gibt es ein Folgenglied $x_{N}$ (welches einen sehr großen Index $N$ aufweisen kann), so dass alle nachfolgenden Folgenglieder $x_{n}$ in der offenen Kugel $B(x_{N},\varepsilon )$ um den Punkt $x_{N}$ mit Radius $\varepsilon$ liegen.

Beispiele

Wenn nichts anderes gesagt wird, beziehen sich die Beispiele auf die reellen Zahlen mit dem gewöhnlichen Abstand.

• Die Folge $x_{n}=1/n$ ist eine Cauchy-Folge:

  Sei $\varepsilon >0$ beliebig vorgegeben. Wähle $N$ so, dass $N>1/\varepsilon$ erfüllt ist. Seien $n\geq m>N$ beliebig, dann gilt:

  $d(x_{m},x_{n})=|1/m-1/n|=\left|{\frac {n-m}{mn}}\right|\leq {\frac {n}{mn}}={\frac {1}{m}}<{\frac {1}{N}}<\varepsilon$

• Die Folge $x_{n}=n$ ist keine Cauchy-Folge:

  Sei $\varepsilon =1/2$ gewählt, und $N$ eine beliebige natürliche Zahl. Dann wähle $m=N+1$ und $n=m+1$. Es ist dann

  $d(x_{n},x_{m})=|n-m|=1>\varepsilon$,

  die Bedingung einer Cauchy-Folge ist also nicht erfüllt.

Eigenschaften

Ein metrischer Raum, in dem jede Cauchy-Folge konvergiert, wird vollständiger Raum genannt. Das heißt, in einem solchen Raum besitzt jede Cauchy-Folge einen Grenzwert, der Element des Raumes ist. Konvergente Folgen sind stets Cauchy-Folgen, die Umkehrung gilt aber nicht immer.

Zum Beispiel sind die reellen Zahlen mit dem gewöhnlichen Abstand vollständig, aber die rationalen Zahlen nicht.