Cent (Musik)

Vorlage:Formatvorlage Einheit Das Cent ist ein Zwölfhundertstel der Oktave und dient als moderne Maßeinheit zur Näherung musikalischer Intervalle. Der Name kommt daher, dass ein Cent ein Hundertstel des exakten Halbtons ist. Es wird benutzt, um verschiedene Tonsysteme und Stimmungen zu beschreiben und zu vergleichen.

Historisches

Die Bezeichnung Cent wurde 1875 von Alexander John Ellis (1814–1890) vorgeschlagen im Anhang zu seiner Übersetzung der Lehre von den Tonempfindungen von Helmholtz

wahrnehmungsbezogene Näherung

Das Cent ist so gewählt, dass wahrnehmbare Frequenzverhältnisse ganzzahlige Näherungen in Cent sind. Grob kann angenommen werden, dass der kleinste erkennbare Frequenzunterschied für Sinuswellen beim Menschen bei Frequenzen ab 1000 Hz bei etwa 3 bis 6 Cent liegt. Geringere Intervallunterschiede werden beim Nacheinander-Erklingen der Töne nicht mehr erkannt. Bei gleichzeitigem Erklingen sind durch Schwebungseffekte auch noch geringere Unterschiede hörbar. Bei tiefen Frequenzen mit geringer Amplitude (also leise) steigt die Unterscheidungsschwelle auf über 100 Cent (ein Halbton).

Vorteil gegenüber Proportionen

Der Vergleich von Intervallen mit dem Cent hat den Vorteil, dass es der linearen, additiven Empfinden des Gehörs entspricht, das schon Aristoxenos seiner Tonsystemtheorie zugrunde legte. Es ersetzt den Vergleich mit Proportionen über eine Umrechnung in unanschauliche akustische Saitenlängen-Verhältnisse oder Frequenz-Verhältnisse. Diese ist in der pythagoreischen Tonsystemtheorie seit Philolaos üblich und funktioniert über die Homomorphie-Regel Proportion(x+y)=Proportion(x)·Proportion(y). Die proportionale Homomorphie wurde in der Neuzeit durch Logarithmen dargestellt, so bereits um 1640 von Bonaventura Francesco Cavalieri (1598–1647), Juan Caramuel y Lobkowicz (1606–1682) und Lemme Rossi.

Mathematische Betrachtung

Die Oktave hat ein Frequenzverhältnis $y_{0}$ von

y_{0}={\frac {f_{2}}{f_{1}}}=2

oder

{\frac {f_{1}}{f_{2}}}={\frac {1}{2}}

Dieser Quotient soll in 1200 gleiche Faktoren $r$ zerlegt werden. Jeder dieser Faktoren hat den Wert

r=2^{\frac {1}{1200}}={\sqrt[{1200}]{2}}=1{,}0005777895...

, so dass gilt

r^{1200}=y_{0}=2

.

1 Cent entspricht dann einem Frequenzverhältnis von 1,0005777895, 2 Cent von 1,0005777895², 3 Cent von 1,0005777895³ usw., und 1200 Cent entsprechen 1,0005777895¹²⁰⁰, was gleich 2 ist (die Oktave).

Umrechungen

Die Umrechnung des Frequenzverhältnises $y={\frac {f_{2}}{f_{1}}}$ in ein Intervall c (in Cent):

c=1200\log _{2}{y}\;\mathrm {Cent} =1200{\frac {\log y}{\log 2}}\;\mathrm {Cent} =3986{,}3137\log _{10}{y}\;\mathrm {Cent}

Anmerkung: log y / log 2 ist dasselbe wie log₂ y, wobei log₂ den Logarithmus zur Basis 2 meint. Da auf Taschenrechnern allenfalls Logarithmen zur Basis 10 (log) oder zur Basis e ≈ 2,718 (ln) zu finden sind, ist die oben angegebene Formel praxisnäher. Der verwendete Logarithmus ist beliebig (log oder ln), er muss nur innerhalb der Formel einheitlich sein.

Für das Umrechnen des Intervalls c (in Cent) ins Frequenzverhältnis $y={\frac {f_{2}}{f_{1}}}$ kann die obige Formel nach $y$ aufgelöst werden:

y=2^{\frac {c}{1200\;\mathrm {Cent} }}=(2^{\frac {1}{1200}})^{\frac {c}{\mathrm {Cent} }}=r^{\frac {c}{\mathrm {Cent} }}=1{,}0005777895^{\frac {c}{\mathrm {Cent} }}

.

So gilt auch

f_{2}=f_{1}\cdot 1{,}0005777895^{\frac {c}{\mathrm {Cent} }}

.

Beispiel

Verbal: Eine reine große und eine reine kleine Terz ergeben zusammen eine reine Quinte.

Anmerkung: „reine Quinte“ ist hier nicht im Unterschied zu „vermindert“ und „übermäßig“ gemeint, sondern in der Bedeutung „nicht temperiert“, mit dem Frequenzverhältnis 2:3, so dass auch der Begriff „reine große Terz“ sinnvoll ist. (siehe auch Reines Intervall)

	Frequenzverhältnis → Intervall in Cent	Intervall in Cent → Frequenzverhältnis
reine große Terz:	$1200\cdot log_{2}{\frac {5}{4}}\;\mathrm {Cent} =386\;\mathrm {Cent}$	$2^{\frac {386}{1200}}=1{,}25={\frac {5}{4}}$
reine kleine Terz:	$1200\cdot log_{2}{\frac {6}{5}}\;\mathrm {Cent} =316\;\mathrm {Cent}$	$2^{\frac {316}{1200}}=1{,}2={\frac {6}{5}}$
reine Quinte:	$1200\cdot log_{2}{\frac {3}{2}}\;\mathrm {Cent} =702\;\mathrm {Cent}$	$2^{\frac {702}{1200}}=1{,}5={\frac {3}{2}}$

Es gilt

Mit Frequenzverhältnissen:

{\frac {5}{4}}\cdot {\frac {6}{5}}={\frac {3}{2}}

Mit Centwerten:

386\;\mathrm {Cent} +316\;\mathrm {Cent} =702\;\mathrm {Cent}

Siehe auch

Literatur

Ellis, Alexander John: On the Sensations of Tone (1875), Übersetzung von: Helmholtz, Hermann: Die Lehre von den Tonempfindungen als physiologische Grundlage für die Theorie der Musik.
John R. Pierce, Klang. Musik mit den Ohren der Physik, Spektrum, ISBN 3-827-40544-0

Weblinks