Mandelbox

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Eine Mandelbox (Skalierung 2) von vorne

In der Mathematik ist die Mandelbox ein Fraktal mit einer kastenartigen Form, das 2010 von Tom Lowe entdeckt wurde, und ist eine mögliche Verallgemeinerung der Mandelbrot-Menge für den eukldischen Raum.

Motivation

Mandelbrotmenge in der Gaußschen Zahlenebene

Die Mandelbrot-Menge lässt sich als Menge aller komplexen Punkte $c$ definieren, wodurch die rekursiv definierte Folge $(f_{c}(n))$ definiert durch

$f_{c}(0)=0,$

$f_{c}(n+1)=f_{c}(n)^{2}+c,$

beschränkt ist. An der Bildungsvorschrift erkennt man, dass eigentlich dieselbe Funktionsvorschrift immer wieder iteriert wird. Eine Verallgemeinerung würde also zu den Julia-Mengen führen. Statt aber Fraktale in $\mathbb {C}$ zu betrachten, könnte man auch eine Verallgemeinerung zum $\mathbb {R} ^{n}$ versuchen. Dabei interpretiert man das Quadrieren als eine Art „Aufblähung“ zu einer Box oder Kugel.

Definition

Geometrische Funktionen

Wir definieren uns $f_{\text{Box}}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$ folgendermaßen: Für $n=1$ setze man

$f_{\text{Box}}={\begin{cases}-2-x&x<-1\\x-x&-1<x<1\\2-x&x>1\\\end{cases}}$

Anschaulich gesagt „faltet“ man sich hier eine Box im Intervall $]-1,1[$ zusammen. Für $n>1$ setze man

$f_{\text{Box}}(x_{1},\dots ,x_{n})=(f_{\text{Box}}(x_{1}),\dots ,f_{\text{Box}}(x_{n})).$

In den einzelnen Komponenten rechts soll dabei die Funktion im Eindimensionalen bezeichnen.

Die Funktion $f_{\text{Ball}}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$ definiere man sich durch

$f_{\text{Ball}}={\begin{cases}4x&\ <\lVert x\rVert <{\frac {1}{2}}\\{\frac {x}{\lVert x\rVert }}&{\frac {1}{2}}<\lVert x\rVert <1\\x&\lVert x\rVert \geq 1\\\end{cases}}$

Diese Funktion lässt anschaulich gesagt das Innere einer Sphäre „explodieren“, wobei die erste Bedingung vor allem wegen des Punktes $0$ notwendig ist, da man nicht durch die $0$ dividieren kann.

Mandelbox und Juliabox

Entstehung einer Mandelbox

Die Mandelbox $M_{n,\mu }\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ bezüglich der reellen Parameter $s$, $r$ ist die Menge aller Punkte $c\in \mathbb {R} ^{n}$, wodurch die rekursiv definierte Folge $(f_{\mu ,c}(n))$ definiert durch

$f_{\mu ,c}(0)=0,$

$f_{\mu ,c}(n+1)=\mu \cdot f_{\text{Ball}}(f_{\text{Box}}(f_{\mu ,c}(n)))+c,$

beschränkt ist. Die Zahl $\mu$ wird hierbei Skalierungsfaktor genannt.

Eine Julia-Box definiert man sich als Menge aller Punkte $v\in \mathbb {R} ^{n}$, sodass für ein festes $c\in \mathbb {R} ^{n}$ die Folge $(f_{\mu ,v}(n))$ definiert durch

$f_{\mu ,v}(0)=v,$

$f_{\mu ,v}(n+1)=\mu \cdot f_{\text{Ball}}(f_{\text{Box}}(f_{\mu ,c}(n)))+c,$

beschränkt ist.

Beispiele

Für $n=2$ und $\mu =1$ erhält man (nach der üblichen Identifikation des $\mathbb {R} ^{2}$ mit $\mathbb {C}$) die Mandelbrot-Menge. Ansonsten hängt das Aussehen der Mandelbox im Wesentlichen von $\mu$ ab. Für $n=3$ kann man folgende computergenerierte Grafiken angeben:

• 
  $\mu =-2$
• 
  $\mu =-1,5$
• 
  $\mu =-1$
• 
  $\mu =3$

Eigenschaften

Rundgang durch eine Mandelbox

• Für $\mu <-1$ gilt: Gilt für ein $(v_{1},\dots v_{n})\in \mathbb {R} ^{n}$ die Ungleichung $\vert \max(v_{1},\dots v_{n})\vert >2$, so ist $v\notin M_{n,\mu }$. Daraus folgt unmittelbar, dass $[-2,2]^{n}$ die kleinstmögliche in dem Fraktal erhaltene Box ist. Rechts sieht man ein Beispiel, wenn die Skalierung auf -1,5 gesetzt wird.
• Für $\mu >1$ ist ein Punkt $(v_{1},\dots v_{n})\in \mathbb {R} ^{n}$ nicht in $M_{n,\mu }$ enthalten, wenn

$\vert \max(v_{1},\dots v_{n})\vert >{\frac {2(\mu +1)}{\mu -1}}.$

• Im Allgemeinen ergeben sich abhängig vom Wert $\mu$ unterschiedliche Fraktale. Zum jetzigen Stand (2024) sind die Fraktale noch nicht zufriedenstellend charakterisiert worden.

Weblinks

Commons: Mandelboxes – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

• The Mandelbox Set – Mathematische Beschreibung
• Gallerie und Beschreibung