Meromorphe Funktion

Für viele Fragestellungen der Funktionentheorie ist der Begriff der holomorphen Funktion zu speziell. Dies liegt daran, dass der Kehrwert einer holomorphen Funktion $f$ an einer Nullstelle von $f$ nicht definiert und somit auch nicht holomorph ist. Man führt daher den allgemeineren Begriff der meromorphen Funktion ein, die auch isolierte Polstellen besitzen kann.

Meromorphe Funktionen lassen sich als Laurentreihen mit endlichem Hauptteil darstellen. Die in einem Gebiet von $\mathbb {C}$ meromorphen Funktionen bilden einen Körper.

Definition

Es seien $D$ eine nichtleere offene Teilmenge der Menge $\mathbb {C}$ der komplexen Zahlen und $P_{f}$ eine weitere Teilmenge von $\mathbb {C}$, die nur aus isolierten Punkten besteht. Eine Funktion $f$ heißt meromorph, wenn sie für Werte aus $D\setminus P_{f}$ definiert und holomorph ist und für Werte aus $P_{f}$ Pole hat. $P_{f}$ wird als Polstellenmenge von $f$ bezeichnet.

Beispiele

• Alle holomorphen Funktionen sind auch meromorph, da ihre Polstellenmenge jeweils leer ist.

• Die Kehrwertfunktion $z\mapsto {\frac {1}{z}}$ ist meromorph; ihre Polstellenmenge ist $\{0\}$. Allgemeiner sind alle rationalen Funktionen

$z\mapsto {\frac {a_{m}z^{m}+\ldots +a_{0}}{b_{n}z^{n}+\ldots +b_{0}}}$

meromorph; die Polstellenmenge ist hier jeweils eine Teilmenge der Nullstellenmenge des Nennerpolynoms.

• Die Cotangens-Funktion ist meromorph.

• Die Funktion $z\mapsto e^{1/z}$ ist nicht meromorph, da 0 keine Polstelle, sondern eine wesentliche Singularität dieser Funktion ist.