Satz von Bayes

Ich hoffe, dass irgendwann Darstellungen der bayesschen Regel gefunden werden, die den recht verstandenen Ansprüchen der Schule und der Lehrerausbildung genügen. -- H. Dinges

Das Bayes' theorem ist ein Ergebnis der Wahrscheinlichkeitstheorie, benannt nach Mathematiker Thomas Bayes, der es aus einer speziellen Studie im 18. Jahrhundert entwickelte.Es ist ein Satz zum Rechnen mit bedingten Wahrscheinlichkeiten:

$P(A|B)={\frac {P(B|A)P(A)}{P(B)}}$

Hierbei ist $P(A)$ die a-priori Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis $A$ und $P(B|A)$ die so genannte Likelihood Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis $B$ gegeben $A$. Die Korrektheit des Satzes folgt unmittelbar aus der Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit.

Der Satz von Bayes erlaubt in gewissem Sinn das Umkehren von Schlussfolgerungen:

Allgemein

• von einem positiven medizinischen Testergebnis wird auf das Vorhandensein einer Krankheit gschlosssen

• von 10 charakterischten Wörtern in einer Mail, wir auf die Eigenschaft "Spam" gschlossen.

konkretes Anwendungsbeispiel

In einem medizinischen Beispiel sei das Ereignis $A$, dass ein Patient eine schwere seltene ($P(A)=0.0002$) Krankheit hat.

$B$ bezeichne die Tatsache, dass der Patient positiv auf die Krankheit getestet worden ist.

Der Hersteller des Tests versichtert, dass der Test eine Krankheit zu 99.9% erkennt ($P(B|A)=0.999$) und nur in 1% der Fälle falsch anschlägt ($P(B|\neg A)=0.01$).

• Die Frage ist: Gegeben ein positiv getesteter Patient, wie wahrscheinlich ist er an der seltenen Krankheit erkrankt?

Ergebnis

Nach dem Satz von oben finden wir

$P(A|B)={\frac {P(B|A)P(A)}{P(B|\neg A)P(\neg A)+P(B|A)P(A)}}={\frac {0.999\cdot 0.0002}{0.01\cdot 0.9998+0.999\cdot 0.0002}}\approx 0.019,$

d.h. der Patient hat eine Chance von 98% gesund zu sein, obwohl der Test ihn als krank einschätzte (dies gilt natürlich nur unter der Annahme, dass nicht weitere Tatsachen auf eine Erkrankung hindeuten oder gegen diese sprechen).

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Das Bayes-Theorems dient zum Rechnen mit bedingten Wahrscheinlichkeiten, er ist nicht leicht intuitiv verständlich.

Der Bayes'sche Ansatz gibt die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass ein Kandidat zu einer Gruppe gesuchter Merkmalsträger (z.B. TBC-Träger) gehört unter der Bedingung, dass der Kandidat ein Kriterium (z.B. röntgen-positiv) erfüllt und er willkürlich aus der Population herausgegriffen wird.

• W(H| D,I) = W(D| H,I) * W(H| I) / W(D| I) Das so genannte Bayes-Theorem

Dabei bedeutet:

I: Alle Hintergrundinformationen. Es ist wichtig, dass man alle Informationen, die man genutzt hat, auch explizitiert, damit darüber keine Unklarheiten entstehen. So kann man unnötigen Debatten über die Schlussfolgerungen zuvorkommen.

Beachte, dass das Bayes-Theorem folgt, wenn man die Produktregel (3) sowohl für H als auch für D aufschreibt. 'I' hätte auch bereits in (3) eingeführt werden können.

Das Bayes-Theorem ist insbesondere in der Datenanalyse nützlich. In diesem Falle sollte man 'H' als 'Hypothese' verstehen und 'D' als Daten. Man will wissen, in welchem Maße man erwarten kann, dass eine Hypothese H richtig ist unter der Voraussetzung, dass bestimmte Daten D beobachtet wurden.

Verständnisproblem des Bayes-Theorem

Für eine Lösung einer Aufgabe muss die Informationen aus einem Aufgabentext als solche erkannt, kodiert und richtig notiert werden. Weiters müssen die "fehlenden" Wahrscheinlichkeiten ergänzt werden.

Die gleichen Informationen, die vielen schwer verständlich sind erscheinen , können auch ohne bedingte Wahrscheinlichkeiten aufbereitet werden, wie in absolute Häufigkeit aufgeführt. Typische Verständisprobleme im Umgang mit bedingten Wahrscheinlichkeiten sind[1]:

1. Verwechslung von Konditionalität und Kausalität
2. Verwechslung von bedingter und konjunktiver Wahrscheinlichkeit
3. Verwechslung von bedingtem und bedingendem Ereignis
4. Schwierigkeiten bei der exakten Definition des bedingenden Ereignisses (z.B. beim "Ziegenproblem")
5. Missverstehen der Fragestellung durch mangelndes Grundverständnis für bedingte Wahrscheinlichkeiten, zu komplizierte Formulierung u.ä.

Weblinks

• Ian Stewart:Der Trugschluss des Ermittlers (Ein Anwendungsbeispiel aus der Kriminalistik.)
• Christoph Wassner, Stefan Krauss, Laura Martignon: Muss der Satz von Bayes schwer verständlich sein? (Ein Artikel zur Mathematikdidaktik.)